3.3. Экспоненциальная и степенная регрессии.

Экспоненциальная регрессия имеет вид

ŷ = е^{aх + b} (или ŷ= ba^х); (24)

степенная регрессия имеет вид

ŷ = bх^а; (25)

Для нахождения коэффициентов аиbпредварительно проводят процедуру линеаризации выражений (24) и (25):

lnŷ=lnb+xlnа, (26)

lnŷ=lnb+аlnx,(27)

а затем уже строят линейную регрессию между lnŷ и х для экспоненциальной регрессии, и между lnŷ и lnх для степенной регрессии.

Наибольшее распространение степенной функции в эконометрике связано с тем, что параметр а имеет четкое экономическое истолкование, – он является коэффициентом эластичности. Это значит, что коэффициент b показывает, на сколько % в среднем изменится результат, если фактор изменится на 1%.

Для вычисления параметров экспоненциальной регрессии (24) на компьютере используется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Для вычисления параметров степенной регрессии после преобразования исходных данных в соответствие с (27), можно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН.

Для получения графиков однофакторных регрессий можно применить Мастер диаграмм, строя предварительно непрерывный или точечный график исходных данных (диаграмму рассеяния), а затем использовать режим Добавить линию тренда, причем в этом режиме Excel предоставляет возможность выбора шести функций – линейной, логарифмической, полиномиальной, степенной, экспоненциальной и скользящей средней. После выбора функции в режиме Параметры задайте флажок Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации(R^2).

4. Временные ряды.

4.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей.

Методы математической статистики широко применяются для анализа экономических временных рядов.

В общем случае временной ряд содержит детерминированную и случайную составляющие:

у_t=f(t,х_t)+_t, t=1,…,Т,

гдеу_t – значения временного ряда; f(t,х_t) – детерминированная составляющая; х_t – значения факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент t; _t – случайная составляющая; Т – длина ряда.

Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, решают задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

Если детерминированная составляющая зависит только от времени и линейна относительно своих параметров, то задача сводится к задаче множественной линейной регрессии, рассмотренной выше.

Действительно, в этом случае

у_t=₀+₁ ₁(t) +₂ ₂(t) +…+_m _m( t)+_t, t=1,…,Т. (28)

В частном случае,

у_t=₀+₁t¹ +₂t² +…+_mt^m + _t, t=1,…,Т. (29)

Детерминированная составляющая в свою очередь представляется тремя составляющими.

Долговременная эволюторно изменяющаяся составляющая является результатом действия факторов, приводящих к постепенному изменению экономического показателя. Так, в результате научно-технического прогресса, совершенствования системы управления производством показатели эффективности производства растут, а удельные расходы на единицу полезного эффекта снижаются.

Долговременная циклическая составляющая проявляется на протяжении длительного времени в результате действия факторов, обладающих большим последействием или циклически изменяющихся во времени. Например, кризисы перепроизводства или периодичность солнечной активности, влияющая на урожайность.

Сезонная циклическая составляющая легко просматривается в колебаниях продуктивности сельскохозяйственных животных, а также в колебаниях розничного товарооборота в зависимости от времени года.

Многие исследователи первую составляющую называют трендом, другие трендом называют все три составляющие.

Эволюторно изменяющуюся долговременную составляющую во многих практических случаях представляют в виде некоторой аналитической функции (см. ниже), тогда как долговременная и сезонная циклические составляющие представляются тригонометрическими трендами.

Для построения эволюторных трендов (моделирования тенденции) чаще всего применяются те же функции, которые мы рассматривали выше:

• линейный тренд: ŷ_t=b+ at;

• гипербола: ŷ_t= b+a/t;

• экспоненциальный тренд: ŷ_t= е ^b+at (или ŷ_t=ba^t);

• тренд в форме степенной функции ŷ_t= bt^a;

• полином порядка m: ŷ_t= b + a₁t + a₂t² +…+ a_mt^m.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t. Для нелинейных трендов предварительно проводят процедуру их линеаризации.

Пример 6. Имеются помесячные данные о темпах роста заработной платы в РФ за 10 месяцев 2004 г. в процентах к уровню декабря 2003г. (табл. 10). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Таблица 10

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Темп роста з/платы	82,3	87,3	99,4	104,8	107,2	121,6	118,6	114,1	123,0	127,3

Определим параметры основных видов тренда. Результаты этих расчетов представлены в табл. 11.

Таблица 11

Тип тренда	уравнение	R2
Линейный	ŷt=82,66 + 4,72t	0,887
Парабола	ŷt=72,9 + 9,599t – 0,444t2	0,937
Степенной	lnŷt= 4,39+ 0,193lnt	0.939
Экспоненциальный	lnŷt=4.43 + 0.045t	0.872
Гиперболический	ŷt=122.57 – 47.63/t	0.758

Наилучшей является степенная форма тренда, которая в исходном виде (после потенцирования) примет следующий вид

ŷ_t= е^4.39 t^0,193

или ŷ_t= 80,32t^0,193.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

a – средний за период абсолютный прирост ряда.

Применительно к примеру 6 можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом 4,72%.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

е^a– средний за период коэффициент роста ряда.

В примере 6 уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид

ŷ_t= е^4.43 е^0,045t

или ŷ_t= 83,96е^0,045t.

Следовательно, можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 83,96% со средним за месяц темпом роста, равным е^0,045= 1,046.

2. Моделирование сезонных и циклических колебаний.

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

Y= T + S + E,

где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компонента.

S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

Пример 7. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл.12).

Таблица 12

№ квартала	Потребление электроэнергии	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6,0	-	-	-	-
2	4,4	24,4	6,1	-	-
3	5,0	25,6	6,4	6,25	–1,25
4	9,0	26,0	6,5	6,45	2,55
5	7,2	27,0	6,75	6,625	0,575
6	4,8	28,0	7,0	6,875	–2,075
7	6,0	28,8	7,2	7,1	–1,1
8	10,0	29,6	7,4	7,3	2,7
9	8,0	30,0	7,5	7,45	0,55
10	5,6	31,0	7,75	7,625	–2,025
11	6,4	32,0	8,0	7,875	–1,475
12	11,0	33,0	8,25	8,125	2,875
13	9,0	33,6	8,4	8,325	0,675
14	6,6	33,4	8,35	8,375	–1,775
15	7,0	-	-	-	-
16	10,8	-	-	-	-

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем у_t последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один (гр.3 табл. 12);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 12);

в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.12).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты (гр.6 табл. 12). Найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты

Š₁=(0,575+0,55+0,675)/3=0,6;

Š₂=(–2,075 – 2,025 – 1,775)/3= –1,958;

Š₃=(–1,25 – 1,1 – 1,475)/3= –1,275;

Š₄=(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k=0,075/4=0,01875. Окончательно определяем сезонную компоненту S_i = Š_i – k.

Таким образом, получаем

S₁ =0,581; S₂ = –1,979; S₃ = –1,294; S₄ =2,69.

Занесем полученные значения в табл.13 для соответствующих кварталов (гр.3).

Таблица 13

t	yt	St	T+E= yt – St	T	T+S	E=yt –(T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6,0	0.581	5.419	5.902	6.483	–0.483	0.2333
2	4,4	–1.977	6.337	6.088	4.111	0.289	0.0835
3	5,0	–1.294	6.294	6.275	4.981	0.019	0.0004
4	9,0	2.69	6.31	6.461	9.151	–0.151	0.0228
5	7,2	0.581	6.619	6.648	7.229	–0.029	0.0008
6	4,8	–1.977	6.777	6.834	4.857	–0.057	0.0032
7	6,0	–1.294	7.294	7.02	5.727	0.273	0.0745
8	10,0	2.69	7.31	7.207	9.896	0.104	0.0108
9	8,0	0.581	7.419	7.393	7.974	0.026	0.0007
10	5,6	–1.977	7.577	7.58	5.603	–0.03	0.0009
11	6,4	–1.294	7.694	7.766	6.472	–0.072	0.0052
12	11,0	2.69	8.31	7.952	10.642	0.358	0.1282
13	9,0	0.581	8.419	8.139	8.72	0.28	0.0784
14	6,6	–1.977	8.577	8.325	6.348	0.252	0.0635
15	7,0	–1.294	8.294	8.519	7.218	–0.218	0.0475
16	10,8	2.69	8.11	8.698	11.388	–0.588	0.3457

Шаг 3. Вычисляем T+E= y_t – S_t (гр.4 табл.13).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд Т=5,715 + 0,186t. Подставляя в это уравнение t=1,2,…16, находим Т (гр. 5 табл.13).

Шаг 5. Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 13).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.13).