6.3. Статистика Дарбина-Уотсона.

При моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки _t содержат тенденцию (возрастают или убывают со временем) или циклические колебания. В этом случае имеет место автокорреляция остатков (см. 2.6.). Существует два наиболее распространенных способа определения автокорреляции остатков. Первый метод – построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины

(6.3)

Между критерием Дарбина – Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков действует соотношение

d2(1 – r_).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция (r_=1), то d=0. Если в остатках полная отрицательная корреляция (r_= –1), то d=4. Если автокорреляция остатков отсутствует (r_=0), то d=2.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина – Уотсона следующий. Задается уровень значимости . По таблицам значений критерия Дарбина – Уотсона (приложение 3) определяются для числа наблюдений n и числа независимых переменных (факторов) k критические значения d_l и d_u. Получаем пять интервалов для значения d.

• если 0 dd_l, то имеется положительная автокорреляция остатков;

• если d_ldd_u, то это зона неопределенности (на практике предполагаем положительную автокорреляцию остатков);

• если d_ud 4 – d_u, то автокорреляция остатков отсутствует;

• если 4 – d_ud 4 – d_l , то это зона неопределенности (на практике предполагаем отрицательную автокорреляцию остатков);

• если 4 – d_ld4, то имеется отрицательная автокорреляция остатков.

Пример6.3. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода. Исходные данные и результаты промежуточных расчетов для критерия Дарбина-Уотсона приведены в табл.6.5.

Таблица 6.5

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
Расходы, у	7	8	8	10	11	12	14	16
доход, х	10	12	11	12	14	15	17	20

у= –2.05+0,92х+_t.

Год	1	2	3	4	5	6	7	8
ŷ	7,15	8,99	8,07	8,99	10,83	11,75	13,59	16,35
t	–0,15	–0,99	–0,07	1,01	0,17	0,25	0,41	–0,35
t – t-1	-	–0,84	0,92	1,08	–0,84	0,08	0,16	–0,76
∑(t)2=2,4095	,0225	,9801	,0049	1,020	,0289	,0625	,1681	,1225
∑(t – t-1)2=4,0336	-	,7056	0,846	1,166	,7056	,0064	,0256	,5776

Имеем d=4,0336/2,4095=1,674.

Пусть =0,05, по таблицам (приложение 3) для n=8 и k=1 (однофакторная модель) находим критические значения d_l =0,76, d_u =1,33. Так как в нашем случае 1,33  1,674  4 – 1,39=2,61, то автокорреляция остатков отсутствует.

6.4. Динамические эконометрические модели

Эконометрическая модель называется динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t – 1, t – 2, ..., t – l. Например, на выручку от реализации или прибыль компании текущего периода могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные компанией в предшествующие моменты времени. Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, – лаговыми переменными. Эконометрическое моделирование охарактеризованных выше процессов осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида

y_t=a+b₀x_t+ b₁x_t-1+ b₂x_t-2+ ε_t (6.4)

является примером модели с распределенным лагом.

График зависимости значений автокорреляционной функции от величины лага называется коррелограммой.

Решение ряда задач макроэкономики требует ответа на вопрос: какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов? Т. е. исследуются ситуации, когда на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида

y_t=a+b₀x_t+ c₁y_t-1+ε_t (6.5)

относится к моделям авторегрессии.

Таким образом, выделяют два основных типа динамических эконометрических моделей:

– модели авторегрессии;

– модели с распределенным лагом, в которых значения факторной переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель.

Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка параметров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.