Литература для самостоятельной работы

1. Эконометрика: Учебник./ Под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд.– М.: Финансы и статистика, 2005. – 276 с.

2. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И.Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005.

3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. – М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. – 144 с.

4. Доугерти Кр. Введение в эконометрику/ Пер. с англ. – М.: МГУ; ИНФРА-М, 2003.

5. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Математическая статистика для бизнесменов и менеджеров. – М.: МЭСИ, 2004. – 140 с.

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс, 3-е изд. – М.: Дело, 2005. – 503 с.

7. Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Исследование зависимостей методами корреляции и регрессии. – М.: МЭСИ, 2004. – 51 с.

8. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Практикум по прикладной статистике и эконометрике. – М.: МЭСИ, 2003.

9. Россиев А. А.,: Итерационное моделирование неполных данных с помощью многообразий малой размерности, Изд-во СО РАН, 2005.

INTERNET-ресурсы

1. http://upereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/top1/tsld006.htm

2. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

3. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm

4. http://www.statsoft.ru/home/textbook/def ault.htm

5. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

6. http://www.dataforce.net/~antl/article/econometric

7. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

6. Временные ряды.

6.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в

динамических рядах экономических показателей 112

6.2. Моделирование сезонных и циклических колебаний 116

6.3. Статистика Дарбина-Уотсона 118

6.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ______________________________120

6.5. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ_______121

6.6. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 123

6.7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 134

6.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей.

Методы математической статистики широко применяются для анализа экономических временных рядов.

В общем случае временной ряд содержит детерминированную и случайную составляющие:

у_t=f(t,х_t)+_t, t=1,…,Т,

гдеу_t – значения временного ряда; f(t,х_t) – детерминированная составляющая; х_t – значения факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент t; _t – случайная составляющая; Т – длина ряда.

Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, решают задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

Если детерминированная составляющая зависит только от времени и линейна относительно своих параметров, то задача сводится к задаче множественной линейной регрессии, рассмотренной выше.

Действительно, в этом случае

у_t=₀+₁ ₁(t) +₂ ₂(t) +…+_m_m(t)+_t, t=1,…,Т. (6.1)

В частном случае,

у_t=₀+₁t¹ +₂t² +…+_mt^m+ _t, t=1,…,Т. (6.2)

Детерминированная составляющая(называемаятрендом), в свою очередь представляется тремя составляющими.

Долговременная эволюторно изменяющаяся составляющая является результатом действия факторов, приводящих к постепенному изменению экономического показателя. Так, в результате научно-технического прогресса, совершенствования системы управления производством показатели эффективности производства растут, а удельные расходы на единицу полезного эффекта снижаются.

Долговременная циклическая составляющая проявляется на протяжении длительного времени в результате действия факторов, обладающих большим последействием или циклически изменяющихся во времени. Например, кризисы перепроизводства или периодичность солнечной активности, влияющая на урожайность.

Сезонная циклическая составляющая легко просматривается в колебаниях продуктивности сельскохозяйственных животных, а также в колебаниях розничного товарооборота в зависимости от времени года.

Эволюторно изменяющуюся долговременную составляющую во многих практических случаях представляют в виде некоторой аналитической функции (см. ниже), тогда как долговременная и сезонная циклические составляющие представляются периодическими функциями.

Для построения эволюторных трендов (моделирования тенденции) чаще всего применяются те же функции, которые мы рассматривали выше:

• линейный тренд: ŷ_t=b+at;

• гипербола: ŷ_t= b+a/t;

• экспоненциальный тренд: ŷ_t= е ^b+at (или ŷ_t=ba^t);

• тренд в форме степенной функции ŷ_t= bt^a;

• полином порядка m: ŷ_t= b + a₁t + a₂t² +…+ a_mt^m.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t. Для нелинейных трендов предварительно проводят процедуру их линеаризации.

Пример 6.1. Имеются помесячные данные о темпах роста заработной платы в РФ за 10 месяцев 2008 г. в процентах к уровню декабря 2007г. (табл. 6.1). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Таблица 6.1

месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Темп роста з/платы	82,3	87,3	99,4	104,8	107,2	121,6	118,6	114,1	123,0	127,3

Определим параметры основных видов тренда. Результаты этих расчетов представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Тип тренда	уравнение	R2
Линейный	ŷt=82,66 + 4,72t	0,887
Парабола	ŷt=72,9 + 9,599t – 0,444t2	0,937
Степенной	lnŷt= 4,39+ 0,193lnt	0.939
Экспоненциальный	lnŷt=4.43 + 0.045t	0.872
Гиперболический	ŷt=122.57 – 47.63/t	0.758

Наилучшей является степенная форма тренда, которая в исходном виде (после потенцирования) примет следующий вид

ŷ_t= е^4.39t^0,193

или ŷ_t= 80,32t^0,193.

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

b– начальный уровень временного ряда при t=0;

a – средний за период абсолютный прирост ряда.

Применительно к вышеприведенному примеру можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2008г. изменялись от 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом 4,72%.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию:

b – начальный уровень временного ряда при t=0;

е^a– средний за период коэффициент роста ряда.

В примере уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид

ŷ_t= е^4.43е^0,045t

или ŷ_t= 83,96е^0,045t.

Следовательно, можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 83,96% со средним за месяц темпом роста, равным е^0,045= 1,046.

Выбранная прогнозная эмпирическая функция, описывающая динамический ряд, должна минимизировать стандартное отклонение S на интервале оценивания, обеспечивать тесноту связи (по коэффициенту корреляции); аппроксимирующее уравнение должно быть адекватно фактической временной тенденции (по F-критерию) и устранять автокорреляцию.

Технология моделирования на основе тренда включает следующие этапы.

1.Анализ и обработка исходной информации.

2.Выбор вида функции, описывающей временной ряд.

3.Расчет параметров функции (например, методом наименьших квадратов).

4.Оценка адекватности и достоверности уравнения тренда.

Оценка адекватности проводится с помощью показателей, рассмотренных в теме 2, так как трендовые модели являются частным случаем регрессионных моделей. Следует отметить, что временные ряды качественно отличаются от простых числовых выборок, поэтому обычно в целях проверки адекватности модели используют оценку устойчивости тенденции временного ряда.

Определение устойчивости изменения показателей временного ряда

Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. Устойчивость экономических процессов можно рассматривать как категорию противоположную колеблемости, и как устойчивость направленности изменений.

В первом случае показатель устойчивости можно измерять как разность между единицей и относительным показателем колеблемости. В свою очередь показатель колеблемости вычисляется как отношение среднеквадратического отклонения от тренда к среднему значению показателя.

, где

- показатель колеблемости уровней временного ряда;

- среднеквадратическое отклонение уровней временного ряда от рассчитанных по уравнению тренда (стандартное отклонение);

- среднее значение уровней временного ряда;

- фактические значения уровней временного ряда;

- значения уровней временного ряда, рассчитанные по уравнению тренда.

Следовательно, показатель устойчивости будет равен:

Показатель устойчивости характеризует близость фактических уровней к тренду. Изменения показателей считаются устойчивыми, если показатель устойчивости не менее 67% (то есть показатель колеблемости не превышает 33%).

Во втором случае устойчивость характеризует уровни временного ряда как процесс их направленного изменения. С этих позиций полной устойчивостью направленного изменения уровней временного ряда следует считать такое их изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост), либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строго ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости их развития.

При такой интерпретации в качестве показателя устойчивости тенденции можно использовать коэффициент корреляции рангов Ч.Спирмена:

, где

n – число уровней временного ряда;

- разность рангов уровней и номеров периодов времени.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена изменяется от -1 до 1. При хаотическом чередовании подъемов и падений исследуемого процесса его значение буде близко к нулю. Значение коэффициента близкое к 1 доказывает устойчивость тенденции возрастания, близость коэффициента к -1 свидетельствует об устойчивой тенденции убывания.

2. Моделирование сезонных и циклических колебаний.

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

Y= T + S + E,

где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компонента.

S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

Пример6.2. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл.6.3).

Таблица 6.3

№ квартала	Потребление электроэнергии	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	6,0	-	-	-	-
2	4,4	24,4	6,1	-	-
3	5,0	25,6	6,4	6,25	–1,25
4	9,0	26,0	6,5	6,45	2,55
5	7,2	27,0	6,75	6,625	0,575
6	4,8	28,0	7,0	6,875	–2,075
7	6,0	28,8	7,2	7,1	–1,1
8	10,0	29,6	7,4	7,3	2,7
9	8,0	30,0	7,5	7,45	0,55
10	5,6	31,0	7,75	7,625	–2,025
11	6,4	32,0	8,0	7,875	–1,475
12	11,0	33,0	8,25	8,125	2,875
13	9,0	33,6	8,4	8,325	0,675
14	6,6	33,4	8,35	8,375	–1,775
15	7,0	-	-	-	-
16	10,8	-	-	-	-

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем у_t последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один (гр.3 табл. 6.3);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 6.3);

в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.6.3).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты (гр.6 табл. 6.3). Найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты

Š₁=(0,575+0,55+0,675)/3=0,6;

Š₂=(–2,075 – 2,025 – 1,775)/3= –1,958;

Š₃=(–1,25 – 1,1 – 1,475)/3= –1,275;

Š₄=(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k=0,075/4=0,01875. Окончательно определяем сезонную компоненту S_i = Š_i– k.

Таким образом, получаем

S₁ =0,581; S₂ = –1,979; S₃ = –1,294; S₄ =2,69.

Занесем полученные значения в табл.6.4 для соответствующих кварталов (гр.3).

Таблица 6.4

t	yt	St	T+E= yt –St	T	T+S	E=yt –(T+S)	E2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	6,0	0.581	5.419	5.902	6.483	–0.483	0.2333
2	4,4	–1.977	6.337	6.088	4.111	0.289	0.0835
3	5,0	–1.294	6.294	6.275	4.981	0.019	0.0004
4	9,0	2.69	6.31	6.461	9.151	–0.151	0.0228
5	7,2	0.581	6.619	6.648	7.229	–0.029	0.0008
6	4,8	–1.977	6.777	6.834	4.857	–0.057	0.0032
7	6,0	–1.294	7.294	7.02	5.727	0.273	0.0745
8	10,0	2.69	7.31	7.207	9.896	0.104	0.0108
9	8,0	0.581	7.419	7.393	7.974	0.026	0.0007
10	5,6	–1.977	7.577	7.58	5.603	–0.03	0.0009
11	6,4	–1.294	7.694	7.766	6.472	–0.072	0.0052
12	11,0	2.69	8.31	7.952	10.642	0.358	0.1282
13	9,0	0.581	8.419	8.139	8.72	0.28	0.0784
14	6,6	–1.977	8.577	8.325	6.348	0.252	0.0635
15	7,0	–1.294	8.294	8.519	7.218	–0.218	0.0475
16	10,8	2.69	8.11	8.698	11.388	–0.588	0.3457

Шаг 3. Вычисляем T+E= y_t – S_t (гр.4 табл.6.4).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд Т=5,715 + 0,186t. Подставляя в это уравнение t=1,2,…16, находим Т (гр. 5 табл.6.4).

Шаг 5. Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 6.4).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.6.4).