Литература для самостоятельной работы

1. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2008. -304 с.

2. Афанасьев, В. Н. Эконометрика: учеб. для вузов / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев, Т. И. Гуляева ; под ред. В. Н. Афанасьева. -М. : Финансы и статистика, 2006. -255 с.

3. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. Эконометрия. Новосибирск, 2003.

Интернет-ресурсы:

1.http://www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/textbook/modules/stmulreg.html

2. http://www.shpargalka.ru/statis.ru/doc/shpr_e31.htm

3.http://dsmu.donetsk.ua/~statbook/modules/stmulreg.html#cunique

4. http://www3.unicor.ac.ru/d024/p011993.htm

5. http://www.gauss.ru/educat/systemat/butenkov/.asp

6.http://crow.academy.ru/econometrics/seminars_/sem_08_/sem_08.htm

7.http://crow.academy.ru/econometrics/lectures_/lect_03_/index.htm

8. http://u-pereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/

Тема 4. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация

4.1.Общие понятия____________________________________________________________50

4.2. Мультипликативные модели регрессии и их линеаризация 51

4.3.Гиперболическая регрессия. Полиномиальная и кусочно-

полиномиальная регрессия 52

4.4. Экспоненциальная и степенная регрессии 54

4.5. Формирование нелинейных регрессионных моделей на компьютере

с помощью ППП Excel 55

4.6. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 56

4.7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 61

4.1. Общие понятия

Довольно часто соотношения между социально-экономическими явлениями и процессами приходится описывать нелинейными функциями. Например, производственные функции (зависимость между объемом производства и основными факторами производства) или функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом).

Следует различать модели, нелинейные по параметрам, и модели, нелинейные по переменным.

Для оценки параметров нелинейных моделей существует два основных подхода:

1. Первый подход основан на линеаризации модели: преобразованием исходных переменных и введением новых, нелинейную модель можно свести к линейной, для оценки параметров которой используется метод наименьших квадратов.

2. Если подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается, то применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Если модель нелинейна по переменным, то используется первый подход, т.е. вводятся новые переменные, и модель сводится к линейной, например:

Переходим к новым переменным; и получаем линейное уравнение:

.

Более сложной проблемой является нелинейность по оцениваемым параметрам. В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удастся привести к линейному виду. Ниже рассмотрим следующие модели, нелинейные по оцениваемым параметрам:

Степенная (мультипликативная) -

Экспонента - ,

Гипербола

Логарифмическая модель:

При выборе формы уравнения регрессии важно помнить, что чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

4.2. Мультипликативные модели регрессии и их линеаризация.

Уравнение (3.1) называют аддитивным, тогда как уравнение вида

у=₀х₁^1х₂^2 …х_m^m (4.1)

называется мультипликативным.

Коэффициенты а_jявляются коэффициентами эластичности.

Например, при исследовании спроса на мясо получено уравнение

где у – количество спрашиваемого мяса, х₁ – цена, х₂ – доход.Рост цен на 1% при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63%. Увеличение дохода на 1% обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11%.

Логарифмируя (4.1), приходим опять к линейному уравнению регрессии.

Замена переменных:

В новых переменных модель запишется следующим образом:

Степенные (мультипликативные) модели получили широкое распространение в эконометрическом моделировании ввиду простой интерпретации параметров, которые представляют собой частные коэффициенты эластичности результативного признака по соответствующим факторным признакам.

Пусть, например, требуется оценить параметры производственной функции Кобба-Дугласа Y=AK^L^. Логарифмируя обе части, получаем

lnY=lnA+lnK+lnL. (4.2)

Полученная формула линейна относительно логарифмов выпуска Y, капитала K и труда L, и она может быть оценена как множественная линейная регрессия.

Здесь α и β – эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При α + β = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При α + β <1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При α + β >1 – возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).

В частном случае, когда +=1, делается преобразование

Y/L =A(K/L)^ ln (Y/L) =lnA+ln(K/L). (4.3)

Далее оценивается парная линейная регрессия логарифма производительности труда Y/L от логарифма капиталовооруженности К/L. Если зависимость оценивается по данным временных рядов, то часть тренда зависимой переменной может объясняться действующими во времени факторами, например, в производственной функции Кобба-Дугласа нейтральный технический прогресс учитывают с помощью множителя е^t:

Y=AK^L^е^t  ln Y=lnA+lnK+lnL+ t (4.4)

где t– время, параметр – темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу, и опять приходим к модели линейной регрессии.