Мат методы / Лаб3 / Лаба 3
.pdf
Лабораторная работа №3
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ
Цель работы. Изучение методов спектрального анализа сигналов в гармоническом базисе, ознакомление с существующими алгоритмами дискретного преобразования Фурье.
I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Одним из фундаментальных положений математики, нашедшим широкое применение во многих прикладных задачах (процессы передачи информации, в теории электротехники, в исследовании движения машин, в теории корабля и др.), является возможность описания любой периодической функции f(t) с периодом Т, удовлетворяющей условиям Дирихле (согласно теореме Дирихле периодическая функция должна иметь конечное число разрывов и непрерывность производных между ними.), с помощью тригонометрического ряда Фурье:
, |
1) |
где ω 1 = 2π /T - частота повторения (или частота первой гармоники); k - номер гармоники. Этот ряд содержит бесконечное число косинусных или синусных составляющих - гармоник, причем амплитуды этих составляющих ak и bk являются коэффициентами Фурье, определяемыми интегральными выражениями:
2)
3)
Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в виде
4)
,
где амплитуда Аk (5) и фаза ϕ k (6) гармоник определяются выражениями:
5)
6)
Гармоническим анализом называют разложение функции f(t), заданной на отрезке [0, Т] в ряд Фурье или в вычислении коэффициентов Фурье ak и bk по формулам (2) и (3).
Классический спектральный анализ
Спектром временной зависимости (функции) f(t) называется совокупность ее гармонических составляющих, образующих ряд Фурье. Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Аk (спектр амплитуд) и ϕ k (спектр фаз) от частоты ω k = kω 1.
Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождении амплитуды Аk и фазы ϕ k гармоник (косинусоид) ряда Фурье (4). Задача, обратная спектральному анализу, называется спектральным синтезом.
II. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1.Вычислить коэффициенты Фурье (для 14 гармоник), амплитуды и фазы гармоник:
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вариан |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
5 |
|
6 |
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сигнал |
Прямоугольный |
Треугольный |
|
Пилообразный |
Меандр |
Прямоугольный |
Треугольный |
||||||
|
импульс |
импульс |
|
импульс |
|
|
импульс |
импульс |
|||||
Е, В |
1 |
|
0,5 |
|
|
0,8 |
|
|
0,6 |
2 |
|
0,5 |
|
, с |
0,5 10-3 |
0,45 10-3 |
|
0,4 10-3 |
|
0.25 10-3 |
0,15 10-3 |
0,55 10-3 |
|||||
Ти, с |
10-3 |
|
0,7 10-3 |
|
0,9 10-3 |
|
0.4 10-3 |
0.4 10-3 |
0.55 10-3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вариан |
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
11 |
|
12 |
|
||
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сигнал |
Пилообразный |
|
Меандр |
Прямоугольный |
|
Треугольный |
Пилообразный |
|
Меандр |
|
|||
|
импульс |
|
|
импульс |
|
импульс |
импульс |
|
|
|
|||
Е, В |
0,7 |
|
0,5 |
|
0,8 |
|
1,1 |
2 |
|
0,5 |
|
||
, с |
0,5 10-3 |
|
0,15 10-3 |
|
0,3 10-3 |
|
0.55 10-3 |
0,75 10-3 |
|
0,45 10-3 |
|
||
Ти, с |
10-3 |
|
0,5 10-3 |
|
0,4 10-3 |
|
0.75 10-3 |
10-3 |
|
0.7 10-3 |
|
||
2.Построить получившийся сигнал и его амплитудный и фазовый спектр.
3.Используя получившиеся коэффициенты Фурье, синтезировать (получить) сигнал с помощью ряда Фурье. Синтезированный сигнал представить на графике.
4.Сделать выводы о характере получившегося спектра и сигнала.
5.Написать отчет по работе.
Содержание отчета:
1.Титульный лист.
2.Цель работы и задание.
3.Теоретические сведения.
4.Листинг программы.
5.Результаты работы программы.
6.Выводы по работе.
Зачет по работе ставится по результату защиты отчета