Двоичная арифметика

Арифметические действия над двоичными числами выполняются следующим образом:

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0∙0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 0 = 1	0∙1 = 0
1 + 0 = 1	1 – 1 = 0	1∙0 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1∙1 = 1

Сложение двух многоразрядных двоичных чисел проводится поразрядно с учетом единиц переполнения от предшествующих разрядов:

Вычитание многоразрядных двоичных чисел, аналогично сложению, начинается из младших разрядов. Если занять единицу в старшем разряде, образуются две единицы в младшем разряде:

Умножение представляет собой многоразовое сложение промежуточных сумм и сдвиги:

Процесс деления состоит из операций вычитания, которые повторяются:

Тема 1.4 Кодирование данных в эвм Кодирование данных двоичным кодом

Для автоматизации работы с данными, относящимися к различным типам, очень важно унифицировать их форму представления – для этого обычно используется прием кодирования, то есть выражение данных одного типа через данные другого типа. Естественные человеческиеязыки – это не что иное, как системы кодирования понятий для выражения мыслей посредством речи. К языкам близко примыкаютазбуки (системы кодирования компонентов языка с помощью графических символов). История знает интересные, хотя и безуспешные попытки создания «универсальных» языков и азбук. По-видимому, безуспешность попыток их внедрения связана с тем, что национальные и социальные образования естественным образом понимают, что изменение системы кодирования общественных данных непременно приводит к изменению общественных методов (то есть норм права и морали), а это может быть связано с социальными потрясениями.

Та же проблема универсального средства кодирования достаточно успешно реализу­ется в отдельных отраслях техники, науки и культуры. В качестве примеров можно привести систему записи математических выражений, телеграфную азбуку, морскую флажковую азбуку, систему Брайля для слепых и многое другое (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Примеры различных систем кодирования

Своя система существует и в вычислительной технике – она называется двоичным кодированием и основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков: 0 и 1. Эти знаки называютсядвоичными цифрами, по-английски –binary digit или, сокращенно,bit (бит).

Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1 (да или нет, черное или белое, истина илиложь и т. п.). Если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия:

00 01 10 11

Тремя битами можно закодировать восемь различных значений:

000 001 010 011 100 101 110 111

Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть общая формула имеет вид:

N=2^m,

гдеN– количество независимых кодируемых значений;

т– разрядность двоичного кодирования, принятая в данной системе.

Формы представления чисел

В ЭВМ применяются две основные формы представления чисел: натуральная с фиксированным положением запятойи полулогарифмическая с плавающей запятой.

При представлении чисел с фиксированной запятой положение запятой закрепляется в определенном месте относительно разрядов числа и сохраняется неизменным для всех чисел, которые изображаются в данной разрядной сетке. Обычно запятая фиксируется перед первым (старшим) разрядом и в разрядной сетке могут быть представлены только числа, которые по модулю меньше 1. Для кодирования знака двоичного числа используется старший («знаковый») разряд («0» – «+», «1» – «–»).

Недостаткамипредставления чисел с фиксированной запятой являются:

• необходимость предшествующего расчета и введения масштабных коэффициентов для исключения возможности переполнения разрядной сетки (т.е. когда число по модулю превышает единицу), а также потери младших разрядов (т.е. когда число по модулю меньше единицы младшего разряда);

• зависимость относительной точности от значения поступающих чисел. Максимальная относительная точность достигается при выполнении действий над максимально возможными числами.

Преимуществомявляется простота и высокое быстродействие выполнения операций.

Использование представления чисел с фиксированной запятой позволяет упростить схемы машины, повысить ее быстродействие, но представляет определенные трудности для программирования. Поэтому представление чисел с фиксированной запятой используется как основное только в микроконтроллерах.

В универсальных ЭВМ основным является представление чисел с плавающей запятой. Представление числа с плавающей запятой в общем случае имеет вид:

A = m·qⁿ,

где q– основание СС;

n– целое число, называемое порядком числаA;

m– мантисса числаA(|m| < 1).

Поскольку в ЭВМ применяется двоичная СС, то A=m·2ⁿ, причем порядок и мантисса представлены в двоичной форме.

Если в записи числа старшая цифра отлична от нуля, число считается нормализованным; если старшая цифра ноль – число не нормализовано. Нормализация чисел в процессе вычисления выполняется в ЭВМ автоматически. При этом мантисса числа сдвигается влево до момента появления в старшем разряде сетки ближайшей единицы с соответствующим уменьшением порядка числа. В случае переполнения разрядной сетки, например, при сложении нормализованных чисел одного порядка, проводится нормализация вправо на один разряд:

• 3.1415926 = 0,31415926·10¹;

• 0,00125 = 0,125·10^-2.

Недостаткомпредставления чисел с плавающей запятой является то, что для выполнения действий над числами с плавающей запятой необходимо проводить операции отдельно с мантиссами чисел и отдельно с порядками, что усложняет и замедляет выполнение операций.Преимущество– для ЭВМ с плавающей запятой диапазон представляемых чисел больше чем для ЭВМ с фиксированной запятой.

Для кодирования целых чисел от 0 до 255 достаточно иметь 8 разрядов двоичного кода (8 бит). Шестнадцать бит позволяют закодировать целые числа от 0 до 65535, а 24 бита – уже более 16,5 миллионов разных значений.

Для кодирования действительных чисел используют 80-разрядное кодирование

С целью упрощения схем вычитание в ЭВМ заменяется сложением специально построенных кодов чисел. Применяются прямой,обратныйидополнительныйкоды чисел (самостоятельно).