Ми10 крив и пов

Окружности

R2).

Лемниската Бернулли

r2 = 2а2cos2ϕ (или (х2 + у2)2 = 2а2(х2 − у2)).

Характеристическое свойство: |F1M|·|F2M| = а2, где F1(−а; 0), F2(а; 0).

k-лепестковые розы

r = аcoskϕ, r = аsinkϕ, k N, а ≥ 0;

k − количество лепестков розы; a − наибольшая длина лепестка;

− «ширина» одного лепестка (соответствует длине интервала

изменения угла ϕ для одного лепестка, находится их условия

coskϕ ≥ 0 или sinkϕ ≥ 0);

− угол между осями симметрии соседних лепестков (соответствует периоду соответствующей тригонометрической функции coskϕ

или sinkϕ).

r = acos3ϕ r = asin 5ϕ

Следует отметить, что розы вида r = аcoskϕ симметричны относительно полярной оси (в силу четности косинуса), а розы r = аsinkϕ симметричны относительно вертикальной оси,

11

проходящей через полюс (уравнение этой оси в полярных кооординатах ϕ = π/2). Если дано уравнение кривой в полярных координатах, не относящееся к вышеперечисленным типам, поступают следующим образом.

Сначала нужно попробовать перевести уравнение кривой в декартовые координаты, что иногда существенно облегчает задачу (так, например, из уравнения r = а/sinϕ, при переходе к декартовым координатам, получаем уравнение прямой у = а).

Если переход к декартовым координатам не дает желаемых результатов, то заданную кривую строят «по точкам», т.е. находят значения r(ϕ), придавая ϕ различные, целесообразные для данной конкретной задачи, значения. Здесь необходимо помнить, что r − полярный радиус, по определению, должне быть неотрицателен, то есть первое условие при выборе значений ϕ: r(ϕ) ≥ 0. Далее, для упрощения построений, нужно учитывать период тригонометрических функций, входящих в уравнение кривой, а так же симметрию кривой (см. выше).

Пример 1.3. Построить кривую r = 5cos ϕ3

Решение. 1. Находим значения полярного угла ϕ, при которых значения r(ϕ) неотрицательны: r(ϕ) ≥ 0, то есть

12

2.В силу периодичности функции r = 5cosϕ/3, будет достаточно найти зависимость r от ϕ для одного промежутка изменения ϕ (при n = 0).

3.Так как косинус – функция четная, то можно построить кривую для ϕ ≥ 0 , а для ϕ < 0 она будет симметрична относительно полярной оси.

4.Из вышесказанного следует, что целесообразно рассматривать значения

ϕ[0; 3π/2]. Находя соответствующие значения r(ϕ), строим кривую.

Пример 1.4. Построить кривую r = 2 + sin4ϕ.

Решение. 1. Условие r(ϕ) ≥ 0, очевидно, выполняется для всех

.

2.Так как sin4ϕ − функция периодическая с периодом Т = π/2, то целесообразными значениями полярного угла ϕ являются значения из промежутка, длина которого равна периоду Т = π/2, например, значения

ϕ[−π/4; π/4]. Для упрощения вычислений среди указанных значений ϕ выбираем те, для которых значения sin4ϕ являются табличными (см. 1.12). Результаты вычислений сводим в таблицу и строим соответствующую часть кривой.

3.В силу периодичности функции sin4ϕ (а, следовательно, и функции r = 2 + sin 4ϕ), переносим построенную часть кривой на очередной сектор

изменения ϕ, длина которого равна Т = π/2: на сектор ϕ [π/4; 3π/4]. Повторяя подобную процедуру еще 2 раза, получаем

искомую кривую, состоящую из четырех одинаковых частей.

Аналогично вводится понятие кривой в пространстве. Непрерывная кривая в пространстве есть геометрическое место точек, удовлетворяющих одному из аналитических соотношений:

13

Здесь мы предполагаем, что функции, определяющие кривую, являются непрерывными. Аналогичным образом, как и для кривых на плоскости, определяется понятие гладкой и кусочно-гладкой кривой.

Наиболее часто встречающиеся в задачах кривые в пространстве 1. Винтовая линия

Рис. 1.3.

Винтовая линия - линия, описываемая точкой M, которая вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси (Oz) и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью ν вдоль этой оси (рис. 1.3).

14

2. Линия Вивиани

x2 + y2 + z2 = a2 ;

Неявные уравнения линии:

x2 + y2 − ax = 0,

Рис. 1.4.

Линия Вивиани - линия пересечения сферы радиуса a с круглой цилиндрической поверхностью, диаметр которой равен радиусу сферы и одна из образующих проходит через центр сферы (рис. 1.4).

3. Коническая винтовая линия

Рис. 1.5.

15

Коническая винтовая линия – линия, описываемая точкой M, которая движется по прямой OL с постоянной скоростью, а прямая OL, не перпендикулярная к оси Oz, равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью (см. рис. 1.5)

Кривая называется спрямляемой кривой, если она имеет конечную длину. Как известно, кусочно-гладкая кривая спрямляема. Всюду, в дальнейшем (если не оговорено противное) под терминами «кривая», «путь», «контур», «линия» мы будем понимать кусочно-гладкую кривую.

На гладкой кривой в качестве параметра t мы можем взять длину дуги s , отсчитываемую от некоторой фиксированной точки кривой и снабженную определенным знаком в зависимости от направления отсчета. Такой параметр обычно называют естественным или натуральным

Следовательно, на основании теоремы Барроу, дифференциал длины дуги

Так же можно показать, что дифференциал длины дуги в пространстве задается формулой: ds = x'2 + y'2 + z'2 dt, если кривая задана

x =ϕ(t);

параметрически y =ψ(t);

z = χ(t).

1.1Криволинейный интеграл первого рода

1.1.1Понятие криволинейного интеграла первого рода

16

а максимальную из этих длин – через λ = λ(T) . Возьмем на каждой дуге Ai−1 Ai по точке Mi (xi , yi , zi ) , и вычислим значение функции f (Mi ) = f (xi , yi , zi ) в этой точке.

Рис. 1.2.1.

Отметим, что подобное разбиение можно построить и в случае замкнутой кривой, если за точку A0 , совпадающую в этом случае с An , взять любую

точку кривой AB , а остальные точки Ai ,i =1,..., n −1, расположить в

соответствии с выбранным направлением на этой замкнутой кривой. Составим сумму вида

i=1

которую называют интегральной суммой функции f (x, y, z) вдоль кривой АВ. Если существует предел интегральных сумм (1.1) при λ(T) → 0 ,

который не зависит ни от выбора разбиения кривой AB , ни от выбора точек Mi на элементарных дугах Ai−1 Ai , то такой предел называют

криволинейным интегралом первого рода вдоль пространственной кривой AB. Итак,

Рис. 1.2.2.

В частности, когда кривая задана на плоскости Oxy, криволинейным интегралом первого рода вдоль плоской кривой AB называется

17

этой кривой. В этом случае положение точки М на кривой будет определяться длиной дуги AM кривой от начальной точки А до точки М. Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями

Ai−1 Ai этого разбиения. Составим соответствующую интегральную сумму. Пусть si есть значение натурального параметра для точки Ai , i = 0,1,..., n, a

образом:

Правая часть равенства есть интегральная сумма, соответствующая определенному интегралу от функции f (x(s), y(s), z(s)) по отрезку [0, sAB ].

Переход к пределу в обеих интегральных суммах выполняется при одном

условии λ(T) = max ∆si → 0. Поэтому

i=1,...,n

sAB

∫f (x, y, z)ds = ∫ f (x(s), y(s), z(s))ds,

причем существование одного из интегралов в этом равенстве означает существование и другого. На основании этого, можно сформулировать достаточные условия существования криволинейного интеграла первого рода.

Теорема 1.1. Если кривая AB спрямляема, а функция f (x, y, z) непрерывна вдоль этой кривой, то криволинейный интеграл первого рода от функции

18

Свойства криволинейного интеграла первого рода, очевидно,

следуют из определения интеграла, как предела интегральных сумм, а именно:

свойства линейности

1) ∫ ( f (x, y, z) ± g(x, y, z))ds = ∫ f (x, y, z) ds ± ∫ g(x, y, z) ds;

3) (свойства аддитивности) если на кривой AB взята произвольная точка C , то ∫ f (x, y, z)ds = ∫ f (x, y, z)ds + ∫ f (x, y, z)ds;

В заключение отметим следующее. Так как криволинейный интеграл первого рода фактически есть определенный интеграл, на него переносятся основные свойства определенного интеграла: оценка интеграла по модулю (модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции), теорема о среднем. В то же время понятия верхнего и нижнего пределов интегрирования, присущие определенному интегралу, не имеют аналогов для криволинейного интеграла, а известное свойство определенного интеграла менять знак, когда верхний и нижний пределы меняются местами, не распространяется на криволинейный интеграл первого рода.

1.1.2 Геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода

Пусть кривая AB лежит в плоскости xOy. Непрерывная функция f (x, y) ≥ 0 в области определения. Построим цилиндрическую

поверхность с направляющей линией AB и образующими, параллельными оси Oz. В каждой точке M длину образующей сделаем равной значению f (M ) = f (x, y) . То есть цилиндрическая поверхность ограничена сверху

поверхностью z = f (x, y) (рис. 1.2.3).

19