- 10 -

Теория погрешностей

3. Элементарная теория погрешностей

   1. Понятие погрешности

Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Под ошибкой или погрешностью а приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближением, т.е.

а = А - а .

Абсолютной погрешностью  приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом А и числом а, т.е.

 = А - а .

Если число А не известно, то по этой формуле нельзя определить абсолютную погрешность, Поэтому вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности вводят ее оценку сверху, называемую предельной абсолютной погрешностью .

Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если а - предельная абсолютная погрешность, то

 = А - а  а .

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах:

а - а  А  а + а .

Для приближенного числа, полученного в результате округления, абсолютная погрешность а принимается равной половине единицы последнего разряда числа. Например, если значение а = 0.734 было получено округлением, то а = 0.0005 . При вычислениях на ЭВМ округления не производится, а цифры, выходящие за разрядную сетку машины, отбрасываются.

Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Поэтому вводят понятие абсолютной погрешности, приходящуюся на единицу длины, которая называется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности  этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А0) т.е.

.

Так же как и для абсолютной погрешности вводят понятие предельной относительной погрешности. Под предельной относительной погрешностью _а понимают всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа. В качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять число

.

Пример. Сравнить относительную погрешность двух приближенных чисел, полученных в результате округления: 98.1 и 0.000001 .

Решение. Абсолютные погрешности этих чисел равны половине единицы последнего разряда: ₁ = 0.05 и ₂ = 0.0000005 . Т.е. относительные погрешности равны:

₁ = 0.05 / 98.1 = 0.00051 = 0.051%

₂ = 0.0000005/0.000001 = 0.5 = 50% .

Таким образом первое число определено почти в тысячу раз точнее второго.

2. Значащая цифра. Число верных знаков

Приведенные оценки погрешностей приближенных чисел верны, если в записи этих чисел все значащие цифры верны.

Известно, что всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной дроби:

а = _m10^m + _m-110^m-1 + _m-210^m-2 + ... + _m-n+110^m-n+1 + ...

где _i - цифры числа а (_i = 0,1,2,...,9), причем старшая цифра _m  0, а m - некоторое целое число (старший десятичный разряд числа а ). Например,

В этом случае m = 3 и n = 6 .

Значащими цифрами считаются все цифры данного числа, начиная с первой ненулевой цифры. Например, в числе 0.067 - две значащие цифры, а в числе 24.40 - четыре. При изменении формы записи чисел количество значащих цифр не должно меняться. Поэтому, например, преобразования и равносильны, а записи и неравносильны.

Говорят, что n первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева направо. Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего точное число А, известно, что

,

то по определению, первые n цифр _m, _m-1, ... , _m-n+1 этого числа являются верными.

Например, для точного числа А=35.97 число а=36.00 является приближением с тремя верными знаками, так как для m=1 и n=3, получим..

В некоторых случаях удобно говорить, что число а является приближением точного числа А с n верными знаками в широком смысле, если абсолютная погрешность  = А - а не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого n - ой значащей цифрой приближенного числа. Например, для точного числа А = 412.3567 число а = 412.356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, так как .

Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа:

Если положительное приближенное число а имеет n верных десятичных знаков, то относительная погрешность  не превосходит (1/10)^n-1 , деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е.

где _m - первая значащая цифра числа а.

Если число а имеет больше двух верных знаков, т.е. n  2, то практически справедлива следующая формула:

Если приближенное число а имеет n верных десятичных знаков в широком смысле, то эти оценки следует увеличить в два раза.

Пример. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа  взять число а = 3.14 ?

Решение. В этом случае _m = 3 и n = 3. Следовательно,

Для решения обратной задачи - определения количества n верных знаков числа, если известна его относительная погрешность, обычно пользуются приближенной формулой

 =  / a (a > 0) ,

где  - абсолютная погрешность числа а. Отсюда

.

Учитывая старший десятичный разряд числа , легко установить количество верных знаков числа а .

Пример. Приближенное число а = 24253 имеет относительную точность 1% . Сколько в нем верных знаков ?

Решение. Имеем .

Следовательно, число а имеет верными лишь две первые цифры (старший десятичный разряд равен двум); цифра сотен уже является сомнительной. Поэтому это число необходимо записывать в виде .

Этот же результат можно получить по приведенной выше формуле: