Метод Гаусса-Зейделя

Этот метод является модификацией метода простой итерации. Стратегия этого метода отличается тем, что при расчете элементов вектора наряду с элементами предыдущего приближенияучитываются также и элементы, которые уже определены на данной итерации. Расчетная формула метода

Пример. Решить ту же СЛАУ методом Гаусса-Зейделя.

x₁ = -0.1111*x₂ - 0.3333*x₃ +2.2222 = -0.1111*3.0000 - 0.3333*4.2000+2.2222 = 0.4889

x₂ = -0.1428*x₁ - 0.2857*x₃ + 3.000 = -0.1428*0.4889 - 0.2857*4.2000 + 3.0000 = 1.7302

x₃ = -0.4000*x₁ - 0.4000*x₂ + 4.200 = -0.4000*0.4889 - 0.4000*1.7302 + 4.2000 = 3.3124

Остальные итерации выполняются аналогично:

Итерация	х1	х2	х3	Норма
2	0.9258	1.9213	3.0611	0.5391
3	0.9884	1.9842	3.0110	0.1018

Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но он приводит к более громоздким вычислениям. Процесс Зейделя может сходиться даже в том случае, если расходится процесс итерации. Однако это бывает не всегда. Возможны случаи, когда процесс Зейделя сходится медленнее процесса итерации. Более того, могут быть случаи, когда процесс итерации сходится, а процесс Зейделя расходится.

Уточнение решения

Полученные решения могут содержать погрешности, вызванные округлениями при выполнении операций над числами с плавающей точкой на ЭВМ с ограниченным числом разрядов. В ряде случаев эти погрешности могут быть значительными, и необходимо найти способ их уменьшения.

Пусть имеется система уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

… … … … …

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

и с помощью некоторого метода вычислены приближенные значения неизвестных:

x₁⁽⁰⁾ , x₂⁽⁰⁾ , … , x_n⁽⁰⁾ .

Подставляя эти решения в левые части исходной системы получаем некоторые значения b_i⁽⁰⁾, отличные от b_i (i=1, 2, … , n):

a₁₁x₁⁽⁰⁾ + a₁₂x₂⁽⁰⁾ + … + a_1nx_n⁽⁰⁾ = b₁⁽⁰⁾

a₂₁x₁⁽⁰⁾ + a₂₂x₂⁽⁰⁾ + … + a_2nx_n⁽⁰⁾ = b₂⁽⁰⁾

… … … … …

a_n1x₁⁽⁰⁾ + a_n2x₂⁽⁰⁾ + … + a_nnx_n⁽⁰⁾ = b_n⁽⁰⁾

Введем обозначения:

Dx_i⁽⁰⁾ - погрешности значений неизвестных, т.е. Dx _i⁽⁰⁾ = x_i - x_i⁽⁰⁾ и

Db_i⁽⁰⁾ - невязки, т.е. Db _i⁽⁰⁾ = b_i - b_i⁽⁰⁾ .

Тогда, вычитая из исходной системы уравнений вторую, с учетом введенных обозначений легко получить:

a₁₁Dx ₁⁽⁰⁾ + a₁₂Dx ₂⁽⁰⁾ + … + a_1nDx _n⁽⁰⁾ = Db ₁⁽⁰⁾

a₂₁Dx ₁⁽⁰⁾ + a₂₂Dx ₂⁽⁰⁾ + … + a_2nDx _n⁽⁰⁾ = Db ₂⁽⁰⁾

… … … … …

a_n1Dx ₁⁽⁰⁾ + a_n2Dx ₂⁽⁰⁾ + … + a_nnDx _n⁽⁰⁾ = Db _n⁽⁰⁾

Решая эту систему, находим значения погрешностей Dx _i⁽⁰⁾, которые можно использовать в качестве поправок к решению. Следующие приближения неизвестных имеют вид:

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ + Dx ₁⁽⁰⁾

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽⁰⁾ + Dx ₂⁽⁰⁾

… … …

x_n⁽¹⁾ = x_n⁽⁰⁾ + Dx _n⁽⁰⁾

Таким же способом можно найти новые поправки к решению Dx _i⁽¹⁾ и следующие приближения неизвестных x_i⁽²⁾ = x_i⁽¹⁾ + Dx _i⁽¹⁾ и т.д. Процесс продолжается до тех пор, пока все очередные значения погрешностей (поправок) Dx _i не станут достаточно малыми.

Можно заметить, что этот процесс фактически представляет собой итерационный метод решения системы линейных уравнений. При этом на каждой итерации решается система уравнений с одной и той же матрицей, являющейся матрицей исходной системы, но при разных правых частях.

Пример. Пусть при решении СЛАУ

10х₁ - 7х₂ = 7

-3х₁ + 2.099х₂ + 6х₃ = 3.901

5х₁ - х₂ + 5х₃ = 6

были найдены решения х₁ = -1, х₂ = 2, х₃ = 0. Уточнить найденное решение.

Подставляем найденные значения в левые части системы:

10*(-1) - 7*2 = -24

-3*(-1) + 2.099*2 + 6*0 = 7.198

5*(-1) - 2 + 5*0 = -7

Тогда вектор невязок равен

Db₁⁽⁰⁾ = b₁ - b₁⁽⁰⁾ .= 7 - (-24) = 31

Db ₂⁽⁰⁾ = b₂ - b₂⁽⁰⁾ .= 3.901 - 7.198 = - 3.297

Db ₃⁽⁰⁾ = b₃ - b₃⁽⁰⁾ .= 6 - (-7) = 13 .

Значит необходимо решить систему:

10Dх₁ - 7Dх₂ = 31

-3Dх₁ + 2.099Dх₂ + 6Dх₃ = -3.297

5Dх₁ - Dх₂ + 5Dх₃ = 13

После ее решения (используя выбор главного элемента), получаем

Dх₃ = 1

Dх₂ =-3

Dх₁ = 1

Тогда

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ + Dx ₁⁽⁰⁾ = -1 + 1 = 0

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽⁰⁾ + Dx ₂⁽⁰⁾ = 2 + (-3) = -1

x₃⁽¹⁾ = x₃⁽⁰⁾ + Dx ₃⁽⁰⁾ = 0 + 1 = 1

Таким образом, после первой же итерации уточнения, было найдено точное решение.