Метод простой итерации Приведение системы к итерационной форме

Представить исходную систему уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

_{… … … … … … … … …}

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

в итерационной форме можно путем записи каждого ее уравнения в виде решения относительно одного из неизвестных, например, соответственного неизвестного

x₁ = c₁₂x₂ + c₁₃x₃ + … + c_1nx_n + d₁

x₂ =c₂₁x₁ + c₂₃x₃ + … + c_2nx_n + d₂

_{… … … … … … … … … …}

x_n =c_n1x₁ + c_n2x₂ + c_n3x₃ +… + d_n

где

В матричном виде итерационная система уравнений имеет вид

Оценка сходимости решения

Если норма матрицы коэффициентов приведенной системы меньше единицы

,

то процесс итераций сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения. Для оценки нормы можно использовать любое из трех известных соотношений.

Следует отметить, что процесс итераций заведомо сходится, если элементы исходной матрицы удовлетворяют условию

или элементы приведенной матрицы удовлетворяют условию

где n - число неизвестных системы.

Если все нормы матрицы больше единицы, то с помощью элементарных преобразований исходную систему нужно попытаться заменить эквивалентной, для которой условия сходимости выполняются. Эквивалентная система может быть получена перестановкой уравнений исходной системы или заменой отдельных уравнений линейной комбинацией других уравнений системы. Целью проводимых преобразований должно быть получение максимальных по модулю коэффициентов на главной диагонали матрицы коэффициентов.

Выполнение итерации

В качестве начального приближения к решению может быть выбран произвольный вектор. Часто для этого используют вектор правых частей приведенной системы. Решение не зависит от выбора начального приближения, однако, чем ближе начальное приближение к точному решению, тем меньше итераций потребуется для решения системы с заданной точностью e .

Вектор очередного приближения к решению рассчитывается по соотношению

или

Проверка условия окончания решения

Решение считается найденным, если два последовательных приближения оказываются достаточно близкими, т.е. норма вектора их разности сравнима с заданной точностью e

Пример. Методом простой итерации с точностью e = 0.2 решить СЛАУ

x₁ + 7x₂ + 2x₃ = 21

2x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 21

9x₁ + x₂ + 3x₃ = 20

Если эту систему представить в итерационной форме, то получим

x₁ = 21 - 7x₂ - 2x₃

x₂ = 10.5 - x₁ - 2.5x₃

x₃ = 20/3 - 3x₁ - x₂/3

Норма матрицы коэффициентов приведенной системы в этом случае больше единицы, т.е. процесс решения будет расходиться.

Поэтому необходимо поменять местами уравнения системы

9x₁ + x₂ + 3x₃ = 20

x₁ + 7x₂ + 2x₃ = 21

2x₁ + 2x₂ + 5x₃ = 21

Итерационная форма этой системы выглядит следующим образом

x₁ = 2.2222 - 0.1111x₂ - 0.3333x₃

x₂ = 3.0000 - 0.1428x₁ - 0.2857x₃

x₃ = 4.2000 - 0.4000x₁ - 0.4000x₂

Для этой системы условие сходимости выполняется, поэтому можно выполнять расчетную часть метода. В качестве начального приближения выбираем преобразованный вектор свободных членов. Тогда

Проверка условия окончания (используется евклидова норма):

Остальные итерации выполняются аналогично (с новым вектором х_i):

Итерация	х1	х2	х3	Норма
2	1.3538	2.3270	3.4114	1.7754
3	0.8265	1.8319	2.7277	0.9953
4	1.1094	2.1026	3.1366	0.5662
5	0.9430	1.9453	2.9152	0.3185
6	1.0343	2.0324	3.0446	0.1807