Блок-схема метода Гаусса

Ввод n , {A} , {b}

For k = 1 to n-1 do

For i = k+1 to n do

For j=k+1 to n do

For i = n - 1 downto 1 do

S=0

For j = i+1 to n do

S = S + a_ij * x_j

x_i = (b_i - S)/a_ii

Вывод {x}

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов a_kk на которые происходит деление в процессе исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в k-ом столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнение так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента a_kk.

Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычислений.

Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы уравнений находятся в оперативной памяти ЭВМ. Объем вычислений определяется порядком системы n :число арифметических операций примерно равно (2.3)n³ .

Пример. Решить систему

10х₁ - 7х₂ = 7

-3х₁ + 2.099х₂ + 6х₃ = 3.901

5х₁ - х₂ + 5х₃ = 6

используя арифметику с плавающей точкой и сохраняя пять разрядов числа.

1) Сначала необходимо исключить х₁ из второго и третьего уравнения. Для этого сначала умножим первое уравнение на 0.3 и сложим со вторым: А после этого, первое уравнение умножим на -0.5 и сложим с третьим. В результате будет получена система

10х₁ - 7х₂ =7

-0.001х₂ +6х₃ = 6.001

2.5х₂ + 5х₃ = 2.5

2) Чтобы исключить х₂ из третьего уравнения необходимо умножить второе уравнение на 2500 и сложить с третьим. При умножении 6.001 на 2500 будет получено число 15002.5, которое необходимо округлить до 15002. Аналогично, при сложении 15002 + 2.5 будет получено 15004 . В результате получится система

10х₁ - 7х₂ =7

-0.001х₂ +6х₃ = 6.001

15005х₃ = 15004.

3) Отсюда

х₃ = 15004/15005 = 0.99993 .

Если подставить полученные значения в исходные уравнения, то можно убедиться, что ничего хорошего не получилось:

10*(-0.35) - 7*(-1.5) = 7 (7=7)

-3*(-0.35)+2.099*(-1.5) + 6*0.99993 = 1.05 -3.1485 +5.9995 = 3.9008 (3.9008 ¹ 3.901)

5*(-0.35) - (-1.5) + 5*0.99993 = -1.75 + 1.5 + 4.9996 = 4.7496 (4.7496 ¹ 6) .

Такая большая неточность результатов объясняется малой величиной ведущего элемента. В подтверждение этого, после первого шага переставим местами второе и третье уравнения системы:

10х₁ - 7х₂ =7

2.5х₂ + 5х₃ = 2.5

-0.001х₂ +6х₃ = 6.001

Исключим теперь х₂ из третьего уравнения, умножив его на 0.0004. Тогда третье уравнение примет вид

6.002х₃ = 6.002

Отсюда можно найти х₃ = 1 . С помощью второго и третьего уравнений находим

Таким образом, в результате выбора наибольшего по модулю из оставшихся в данном столбце элементов, погрешность решения в рамках данной точности исчезла.

Итерационные методы решения слау

При решении СЛАУ итерационными методами можно выделить следующие этапы:

1. Приведение системы к итерационной форме или составление приведенной формы системы.

2. Анализ сходимости решения.

3. Выполнение итерации или расчет элементов вектора очередного приближения к решению.

4. Проверка условия окончания решения.