Условия совместности и определенности систем

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие D ¹ 0. В случае равенства нулю определителя системы матрица называется вырожденной; при этом система линейных уравнений либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

Все эти случаи легко иллюстрируются геометрически для следующей системы:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂.

Каждое уравнение описывает прямую на плоскости; координаты точки пересечения указанных прямых являются решением системы.

Определитель исходной системы записывается в виде:

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1) прямые пересекаются - коэффициенты системы не пропорциональны:

. Например,

Определитель системы не равен нулю.

2) прямые параллельны - коэффициенты системы подчиняются условиям

. Например,

Определитель системы равен нулю.

3) прямые совпадают - все коэффициенты системы пропорциональны

. Например,

Определитель системы равен нулю.

На практике далеко не всегда удается получить точное равенство определителя нулю. При D » 0 прямые могут оказаться почти параллельными (в случае системы двух уравнений); координаты точки пересечения этих прямых весьма чувствительны к изменению коэффициентов системы.

В качестве примера можно рассмотреть две системы:

;

Анализ графического решения показывает, что в первом случае погрешность решения Dх₁ и Dх₂ намного меньше, чем во втором, т.е. одно и то же изменение коэффициента b₁ по-разному сказывается на решении различных систем.

Обусловленность слау

Таким образом, малые погрешности вычислений или исходных данных могут привести к существенным погрешностям в решении. Такие системы уравнений называются плохо обусловленными.

Для оценки полученного решения используют следующее соотношение:

Произведение называется числом обусловленности матрицыA и обозначается как cond(A).

По приведенной формуле можно оценить погрешность решения данной системы:

а) x₁ + x₂ = 2 ±0.1

x₁ - x₂ = 0

cond(a)=2

Т.е. в этом случае погрешность решения не превышает 10% .

б) x₁ + x₂ = 2 ±0.1

10x₁ + 12x₂ = 22

cond(a)=123

Т.е. в этом случае погрешность решения может составить 56% .

Обусловленность матрицы характеризует чувствительность полученных результатов к погрешностям исходных данных. Если задача плохо обусловлена, то правильный ответ получить практически нельзя - может быть получено какое угодно решение, но правильное - только случайно.

Условие D » 0 является необходимым для плохо обусловленной системы линейных уравнений, но не достаточным. Например, система уравнений n-го порядка с диагональной матрицей и с элементами a_ii = 0.1 не является плохо обусловленной, хотя ее определитель мал (D = 10 ^-n).

О методах решения линейных систем

Наиболее простым методом решения СЛАУ выглядит метод обратной матрицы. Его формула получается после простого преобразования СЛАУ, записанной в матричной форме: путем умножения обеих частей ее на обратную матрицу коэффициентов

Однако такой подход оказывается весьма неэффективным, т.к. для вычисления обратной матрицы требуется большое количество вычислительных операций и поэтому возможно появление больших вычислительных погрешностей. Поэтому этот способ может рекомендоваться лишь для решения сравнительно небольших СЛАУ с одинаковыми матрицами коэффициентов, но с различными правыми частями. Точность получаемого решения при этом будет определяться точностью вычисления обратной матрицы.

Еще одним способом решения СЛАУ является метод Крамера, основанный на вычислениях определителя. При этом система имеет единственное решение если определитель исходной матрицы отличен от нуля. Кроме этого вычисляются определители матрицы, в которой каждый столбец по очереди заменяется на столбец свободных членов. Если заменяется первый столбец, то вычисляют определитель d₁, если второй, то - d₂ и т.д.

Расчетные формулы:

x₁ = d₁/d : x₂ = d₂/d … x_n = d_n/d

Методы решения систем линейных уравнений делятся на две группы - прямые и итерационные.

Прямые методы - используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они дают решение после выполнения заранее известного числа операций.

Недостатки прямых методов :

1) они требуют хранения в оперативной памяти ЭВМ сразу всей матрицы, и при больших значениях n расходуется много места в памяти;

2) прямые методы не учитывают структуру матрицы - при большом числе нулевых элементов в разреженных матрицах (например, ленточных или клеточных) эти элементы занимают место в памяти машины;

3) накапливание погрешностей в процессе решения, т.к. вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Это особенно опасно для больших систем, когда резко возрастает общее число операций, а также для плохо обусловленных систем, весьма чувствительных к погрешностям.

Прямые методы решения линейных систем иногда называют точными, поскольку решение выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. На практике при использовании ЭВМ вычисления производятся с ограниченным числом знаков, определяемых разрядностью машины. Поэтому неизбежны погрешности в окончательных результатах.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений. В них необходимо задать некоторое приближенное решение - начальное приближение. После этого с помощью некоторого алгоритма производится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точ­ностью. Объем вычислений при этом заранее сложно определить.

Преимущества итерационных методов:

1) они требуют хранения в памяти машины не всей матрицы системы, а лишь нескольких векторов с n компонентам;

2) погрешности окончательных результатов при использовании итерационных методов не накапливаются, поскольку точность вычислений на каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависят от ранее выполненных вычислений.

Недостаток итерационных методов - сходимость системы может быть очень медленной.