Методы обращения матрицы Метод Крамера

1. Вычисляют определитель исходной матрицы A.

2. Составляют матрицу алгебраических дополнений - A^* .

3. Транспонируют матрицу алгебраических дополнений - A^*т _.

4. Делят каждый элемент последней матрицы A^*т на определитель исходной матрицы.

Пример. Обратить матрицу .

1. Определитель исходной матрицы det(A) = 2*3 - 2*1 = 4 .

2. Матрица алгебраических дополнений:

a₁₁ = (-1)¹⁺¹*3 = 3 a₁₂ = (-1)¹⁺²*2 = -2

a₂₁ = (-1)²⁺¹*1 = -1 a₂₂ = (-1)²⁺²*2 = 2

3. Транспонированная матрица алгебраических дополнений

4. Обратная матрица

Метод Гаусса-Жордана

К исходной матрице А справа приписывается единичная матрица того же размера. В результате появляется так называемая расширенная матрица:

или [ A ½ E ]

Над расширенной матрицей проводятся допустимые элементарные преобразования с целью приведения исходной матрицы к единичной. Преобразования состоят из k этапов (k = 1, 2, …, n), на каждом из которых выполняются следующие действия:

а) Обращается в единицу диагональный элемент исходной матрицы a_kk . Для этого все элементы k-ой строки расширенной матрицы делятся на диагональный элемент

, j = k, k+1, … 2*n .

б) Обращаются в нуль остальные элементы k-го столбца исходной матрицы a_ik (i=1, 2, … , n , i ¹ k). Для этого к элементам i-ой строки расширенной матрицы прибавляются элементы k-ой строки, умноженные на коэффициент a = - a_ik .

k = 1,2, … , n ; i = 1,2 , …, n , i ¹ k ; j = k,k+1, … , 2n .

В результате таких преобразований на месте исходной матрицы появляется единичная, а на месте единичной - обратная матрица A^-1 .

или [ E ½ A^-1 ] .

Пример. Обратить матрицу методом Гаусса-Жордана.

Последовательность действий:

а) К исходной матрице справа приписывают единичную того же размера.

б) Первую строку расширенной матрицы делим на элемент а₁₁=2.

в) Первая строка расширенной матрицы умножается на -4 и складывается со второй строкой.

г) Вторая строка расширенной матрицы делится на элемент а₂₂=-5.

д) Вторая строка расширенной матрицы умножается на -2 и складывается с первой.

В результате этих действий получается обратная матрица

Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Линейная система n уравнений может быть записана в виде:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

. . . . . . . . . . .

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

Эту систему линейных уравнений можно также записать в матричном виде:

,

где A - матрица коэффициентов системы, а и - вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно.

.

Классификация слау

1. Если количество уравнений в системе больше количества неизвестных, то система называется переобусловленной. Если количество уравнений меньше количества неизвестных, то система называется недообусловленной.

2. Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной.

3. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Совместная система, имеющая бесконечное количество решений, называется неопределенной.

4. Если все коэффициенты правых частей системы равны нулю, то система называется однородной. Если хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю, то система называется неоднородной.

Однородная система уравнений всегда совместна, т.к. имеет хотя бы одно решение, x_i = 0 (i=1,2,…,n), называемое тривиальным.