Числовые характеристики матрицы Норма матрицы

Норма матрицы является некоторой обобщенной оценкой значений элементов матрицы. Для вычисления нормы матрицы можно использовать следующие выражения:

.

, i = 1, 2, … , m .

, j = 1, 2, … , n .

Определитель матрицы

Определитель существует только для квадратных матриц. Выражения для расчета определителя в общем виде записывается как

и представляет собой сумму всевозможных произведений элементов матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах ее. В этих произведениях элементы обычно располагаются в порядке возрастания первых индексов. Совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку чисел от 1 до n - j₁, j₂, … , j_n .Так как количество таких перестановок равно n!, то сумма в выражении для определителя имеет n! слагаемых.

Степень s определяется четностью перестановки: s = 1, если перестановка нечетная и s = 2, если перестановка четная. Четность перестановки определяется числом инверсий в ней: четное число инверсий дает четную перестановку, нечетное - нечетную перестановку. Инверсией является каждое нарушение порядка следования чисел в перестановке по возрастанию.

Из этого выражения следует, что определитель равен сумме n! слагаемых, каждое из которых является произведением n элементов. Поэтому для вычисления определителя порядка n (без использования специальных приемов) требуется (n-1)n! умножений и n!-1 сложений, т.е. общее число арифметических операций равно

N = n * n! - 1 » n * n! .

Можно оценить значения N в зависимости от порядка n определителя:

n	3	10	20
N	17	3.6*107	5*1019

Можно подсчитать время вычисления таких определителей на ЭВМ с заданным быстродействием. Если для определенности принять среднее быстродействие равным 1 000 000 операций в секунду, то для вычисления определителя 10 порядка потребуется 36 секунд, а при n = 20 - около 1.4*10¹⁰ часов, т.е. около 5.8*10⁸ суток » 1.6 млн. лет .

Вычисление определителя

Легко вычисляются определители невысоких порядков и некоторые специальные типы определителей. Например,

a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₂₁a₃₂a₁₃-a₃₁a₂₂a₁₃-a₂₁a₁₂a₃₃-a₃₂a₂₃a₁₁

Свойства определителя

1. Если в матрице есть нулевая строка или нулевой столбец, то ее определитель равен нулю.

2. Если матрица содержит две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами две строки или два столбца, то ее определитель изменит знак на противоположный.

4. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы увеличить в a раз, то определитель матрицы также увеличится в a раз.

5. Если к какой-либо из строк матрицы прибавить другую строку, умноженную на константу, то определитель матрицы не изменится.

6. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:

.

Ранг матрицы, минор, алгебраические дополнения

Ранг матрицы показывает число линейно независимых строк и столбцов матрицы. Ранг существует как для квадратных, так и для прямоугольных матриц. Для вычисления ранга используется понятие минора.

Минором k-го порядка для любой прямоугольной матрицы А размером m*n (k£m, k£n) называется определитель квадратной подматрицы, полученной путем выделения из исходной матрицы А элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов ее.

Ранг матрицы численно равен порядку наивысшего отличного от нуля минора.

Примеры: Рассчитать ранги следующих матриц:

1) ,r_a = 3, т.к. det(A) ¹ 0 .

2) ,r_a = 2, т.к.

3) ,r_a = 1, т.к. det(A) = 0 и все миноры второго порядка также равны нулю.

Алгебраическое дополнение A_{i j} = (-1)^i+j * M_{i j} для элемента a_{i j} с точностью до знака равно минору порядка n-1, полученному из определителя исходной матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Определитель матрицы равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е.

где первая формула дает разложение определителя d по элементам i-й строки, а вторая формула - по элементам j-го столбца.

Пример. Вычислить определитель

разложив его по элементам второй строки.

Решение. Имеем d = a₂₁A₂₁ + a₂₂A₂₂ + a₂₃A₂₃, откуда

Этот же ответ можно было получить используя свойства определителя, т.к. его вторая строка равна сумме третьей строки и первой, умноженной на -1.