Элементы матричной алгебры Основные определения

Матрицей называется совокупность чисел a_{i j}, расположенных в виде прямоугольной таблицы:

Числа a_{i j} называются элементами матрицы. Индексы i и j означают, что элемент a_ij расположен на пересечении i-ой строки и j-го столбца матрицы.

Виды матриц

1. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то она называется прямоугольной матрицей размера m*n .

2. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной. Элементы квадратной матрицы a_{i j} при i = j образуют ее главную диагональ и называются диагональными.

3. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0 .

4. Матрица, содержащая один столбец (n=1), называется вектором-столбцом или просто вектором.

5. Матрица, содержащая одну строку (m=1), называется вектором-строкой или транспонированным вектором x^т .

6. Квадратная матрица, все элементы которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной

7. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной

Единичная матрица обозначается буквой Е и в матричных операциях имеет тот же смысл, что и единица в алгебре чисел.

8. Матрица, в которой все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, называется нижней треугольной

Матрица, в которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется верхней треугольной

9. Матрица B, полученная из исходной матрицы А путем замены строк соответствующими столбцами, называется транспонированной и обозначается B = A^т .

b_{i j} = a_{j i} , i = 1, 2, … , m ; j = 1, 2, … , n.

10. Квадратная матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметричной A = A^т

Элементы такой матрицы расположены симметрично относительно главной диагонали a_{i j} = a_{j i} .

11. Квадратная матрица А называется ортогональной, если при умножении ее на транспонированную матрицу А^т как справа, так и слева получается единичная матрица:

А^т * А = А * А^т = Е .

12. Квадратная матрица А^-1 называется обратной, если при умножении ее на исходную матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица:

А^-1 * А = А * А^-1 = Е .

13. Если ненулевые элементы матрицы составляют отдельные группы (клетки), то такая матрица называется клеточной.

14. Если ненулевые элементы матрицы составляют "ленту", параллельную диагонали, то такая матрица называется ленточной.

В данном случае ленточная матрица D одновременно является также трехдиагональной.

Операции над матрицами

Транспонирование матрицы

Для получения транспонированной матрицы С достаточно в исходной матрице А поменять местами строки и столбцы

c_{i j} = a _{j i} (i=1, 2, …, m; j = 1, 2, … ,n)

Свойства операции

1. (a * А)^т = a * А^т

2. (А + В)^т = А^т + В^т

3. (А * В)^т = В^т * А^т

4. (А^т)^т = А

Сложение матриц

Размеры исходных матриц и матрицы-результата должны совпадать. Для получения матрицы-результата достаточно сложить соответствующие элементы матриц-слагаемых.

с_{i j} = a_{i j} + b_{i j} (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2 , … ,n)

Свойства операции

1. А + В = В + А

2. (А + В) + С = А + (В + С)

Умножение матрицы на константу

Для получения матрицы-результата достаточно умножить на константу каждый элемент исходной матрицы

c _{i j} = a * a_{i j} (i = 1, 2, … , m: j = 1, 2, … , n)

Размеры исходной матрицы и матрицы-результата должны совпадать.

Свойства операции

1. a * (А + В) = a * А + a * В

2. (a + b) * А = a * А + b * А

3. a *(b * А) =(a * b) * А

4. 0 * А = 0

5. 1 * А = А

Умножение матриц

Две матрицы можно перемножить только в том случае, если число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Для вычисления значения элемента c_{i j} матрицы-результата необходимо найти скалярное произведение элементов i-ой строки матрицы-множимого на соответствующие элементы j-го столбца матрицы-множителя

, (i = 1, 2, … , m: j = 1, 2, … , n)

Число строк матрицы-произведения равно числу строк матрицы-множимого, а число столбцов матрицы-произведения равно числу столбцов матрицы-множителя.

Свойства операции

1. (А * В) * С = А * (В * С)

2. (А + В) * С = А * С + В * С

3. (А * В)^т = В^т * А^т

4. А * В ¹ В * А

Т.е. в общем случае операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности.

Исключения составляют случаи, когда одним из сомножителей является:

а) единичная матрицы: Е * А = А * Е = А .

б) обратная матрица: А^-1 * А = А * А^-1 = Е .

в) ортогональная матрица.

Частные случаи умножения матриц

1. Умножение вектора-строки на вектор-столбец той же размерности дает число

, (i = 1, 2, … , n: j = 1, 2, … , n)

2. Умножение вектора-столбца на вектор-строку той же размерности дает матрицу

, (i = 1, 2, … , n: j = 1, 2, … , n)

3. Умножение матрицы А размером m*n на вектор размером n дает вектор размеромm:

, (i = 1, 2, … , m)