- 25-

Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений Элементы теории линейных векторных пространств Понятие вектора

Совокупность чисел x₁, x₂, … , x_n может рассматриваться как точка или вектор n-мерного пространства. Числа x_i (i = 1,2, … , n) называются координатами вектора или точки, количество элементов в векторе n называется размерностью вектора. Элементы вектора записываются в виде строки [x₁, x₂, … , x_n] или столбца:

Множество векторов образуют линейное пространство, которое называется арифметическим пространством размерности n.

Вектор называется нулевым, если все его координаты равны нулю: . Вектор называетсяединичным, если одна его координата равна единице, а остальные равны нулю. В n-мерном арифметическом пространстве совокупность единичных векторов: ,, … ,.называетсяестественным базисом пространства.

Два вектора одинаковой размерности равны, если равны их соответствующие координаты:

, если x_i = y_i (i = 1, 2, … , n) .

Два равных вектора представляют собой одну точку в пространстве.

Для оценки величины вектора вводится понятие его нормы. Чаще всего для этого используется его длина, называемая евклидовой длиной или евклидовой нормой:

Для более простой оценки нормы вектора могут использоваться соотношения:

, i=1, 2, … , n или .

Операции над векторами Сложение векторов:

Для получения вектора-результата достаточно сложить соответствующие элементы векторов-слагаемых. Размерности вектора-результата и векторов слагаемых должны совпадать:

, или c_i = a_i + b_i (i=1, 2, … , n) .

Свойства операции:

1.

2.

Умножение вектора на константу

Для получения вектора-результата достаточно каждый элемент исходного вектора умножить на константу. Размерности исходного вектора и вектора-результата должны совпадать:

c_i = a * a_i (i = 1, 2, … , n)

Свойства операции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Система векторов ,, … ,называетсялинейно зависимой, если один из векторов линейно выражается через остальные вектора системы. Для линейно зависимой системы векторов в соотношении

имеются отличные от нуля коэффициенты a_i .

Например, имеются два вектора [1,2] и [2,4]. Тогда при a₁=2 и a₂=-1 можно получить

.

Если нарисовать график, то видно, что линейно зависимые вектора лежат на одной прямой.

Система векторов называется линейно независимой, если указанное соотношение выполняется только при условии равенства нулю всех коэффициентов a_i (i = 1, 2, … , n).

Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Система, состоящая из одного не нулевого вектора, линейно независима.

Скалярное произведение двух векторов

Для получения скалярного произведения необходимо перемножить соответствующие элементы векторов-сомножителей и полученные произведения сложить:

Размерности векторов-сомножителей должны совпадать.

Вектор называетсянормированным, если (,) = 1. Система векторов называется нормированной, если нормированы все ее векторы.

Два вектора иназываютсяортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Угол между ортогональными векторами всегда равен 90 . Система векторов называется ортогональной, если она состоит из одного вектора или ее векторы попарно ортогональны.

Нормированная ортогональная система называется ортонормированной.

С помощью скалярного произведения можно определить угол между двумя векторами в n-мерном пространстве: