Приближенные числа

При размещении обрабатываемой информации в ЭВМ предъявляются определенные требования к организации разрядной сетки ЭВМ. Под разрядной сеткой ЭВМ понимают количество разрядов, необходимых для размещения в ячейках оперативной памяти полного машинного слова. Для каждого типа ЭВМ она имеет строго определенное количество разрядов.

В ЭВМ используют две формы представления чисел в разрядной сетке: с фиксированной и плавающей запятой.

Представление чисел с фиксированной запятой - это естественная форма представления числа, когда положение запятой в разрядной сетке строго фиксируется. Например, это следующая форма записи чисел: 5, -10, 174.54, 0.000073 и т.д. Обычно запятая фиксируется перед старшим или после младшего разрядов. Если запятая фиксируется перед старшим разрядом, то числа в ЭВМ представляются как правильные дроби; если после младшего - как целые числа.

Схема разрядной сетки при фиксации запятой перед старшим разрядом:

Разряды такой сетки нумеруются слева направо, начиная с нулевого, который называется знаковым разрядом. В этом разряде 0 соответствует плюсу, а 1 - минусу. На разрядной сетке указан вес каждого разряда. Максимальное машинное число по абсолютной величине, т.е. без учета знака, равно

где n - количество разрядов числа.

Минимальное, отличное от нуля машинное число

Диапазон чисел всех возможных величин в данном случае определяется неравенством:

2N £½X½£ (1 - 2-n) .

Анализируя это неравенство, можно отметить следующие особенности:

1. Диапазон представления чисел в машинах с фиксированной запятой сравнительно невелик.

2. Число, абсолютное значение которого меньше машинного слова (2^-n), будет записано в ЭВМ в виде нуля. Такое число называется машинным нулем, так как на самом деле оно не равно нулю, но для его изображения недостаточно разрядов в машинном слове.

3. Число, полученное в результате вычислений по абсолютному значению, не должно превышать максимального машинного числа (1 - 2^-n). Если число выходит за верхний предел, то целая часть его не может быть расположена в машинном слове и поэтому теряется, что приводит к искажению результата. В этом случае говорят, что произошло переполнение разрядной сетки.

Схема разрядной сетки при фиксации запятой после младшего разряда:

В этом случае разрядная сетка позволяет представлять отрицательные и положительные двоичные числа, модуль которых

1 £½X½£ ( 2-n - 1 ) .

где n - количество числовых разрядов в разрядной сетке ЭВМ.

Представление чисел с плавающей запятой - оно основывается на изображении чисел в полулогарифмической форме А =± р , ± М, соответствующей записи чисел в нормальной форме:

А = ± M * d^{± p} ,

где р - целое число, называемое порядком числа А; d - основание системы счисления; М - мантисса числа А (обычно ½М½<1).

Фактически положение запятой в мантиссе М определяется величиной порядка р. С изменением р в большую или меньшую сторону запятая соответственно перемещается влево или вправо. т.е. “плавает” в изображении числа. Например, число -273.9 можно записать в виде: -2739·10^-1, -2.739·10², -0.2739·10³ . Последняя запись- нормализованная форма числа с плавающей запятой. В общем случае мантисса такого числа может быть записана в виде m = 0.a₁a₂... a_k, при этом a₁ ¹ 0.

Разрядная сетка ЭВМ с плавающей запятой может быть представлена следующим образом:

От количества разрядов, отводимых для хранения порядка, зависит диапазон записываемых чисел, а от количества разрядов, отводимых для мантиссы, - точность записи числа. Если под цифровые разряды мантиссы отведено n, а для порядка - m разрядов, то максимальные и минимальные по абсолютной величине нормализованные двоичные числа соответственно равны:

и

Диапазон чисел в ЭВМ с плавающей запятой определяется неравенством:

При достаточно больших n (обычно n ³ 30) величина 1 - 2ⁿ » 1 и это неравенство принимает вид

.

Из этого неравенства видно, что диапазон чисел зависит в основном от порядка р.

Если число превышает верхний предел этого неравенства, то происходит переполнение разрядной сетки и ЭВМ автоматически останавливается. Если число выйдет за нижний предел неравенства, то оно будет соответствовать машинному нулю.

Все вышесказанное распространяется и на числа, записанные в других системах счисления. Отсюда следует, что подмножество действительных чисел, которыми оперирует ЭВМ конечно и оно определяется разрядностью р , а также границами порядка m₁ и m₂ (m₁ £ m £ m₂) . Границы порядка m₁ и m₂ определяют ограниченность чисел по величине, а размерность p - дискретность распределения их на отрезке числовой оси. Например, при четырехразрядном представлении десятичных чисел все значения, находящиеся в интервале 0.2851 и 0.2852 представляются числом 0.2851 (остальные разряды отбрасываются без округления).

Разность между двумя соседними числами равна единице последнего разряда. Числа, меньшие этой разности, воспринимаются как машинный ноль.