Перевод правильных дробей

Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d₁ в систему с основанием d_2,, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание d₂ новой системы счисления. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d₂ формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.

При переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. Процесс перевода можно закончить, если появится дробная часть, имеющая во всех разрядах нули, или будет достигнута заданная точность перевода, т.е. получено требуемое количество разрядов результата.

Если точность перевода равна d₂^-q, то после q умножений на d₂ выписываются все найденные целые части в порядке их получения.

Пример. Перевести десятичную дробь 0.3126 в двоичную систему счисления с точностью до 2^-4 .

Решение.

- целая часть равна 0 .

- целая часть равна 1 .

- целая часть равна 0 .

- целая часть равна 1 .

Так как точность равна 2^-4, то вычисления на этом заканчивается.

Выписывая целые части в порядке появления получаем (0.3126)₁₀ = (0.0101)_{2 .}

Пример. Десятичную дробь 0.6 перевести в восьмеричную систему счисления с точностью 8^-5 .

Решение.

- целая часть равна 4 .

- целая часть равна 6 .

- целая часть равна 3 .

- целая часть равна 1 .

- целая часть равна 4 .

Таким образом (0.6)₁₀ = (0.46314)₈ .

Перевод смешанных чисел

При переводе смешанных чисел из одной системы счисления в другую необходимо в новую систему перевести отдельно его целую и дробную части, а затем объединить полученные результаты в одно смешанное число.

Пример. Перевести десятичное смешанное число 159.75 в двоичную систему счисления с точностью 2^-3 .

Решение.

159 : 2 = 79 - остаток 1 .

79 : 2 = 39 - остаток 1 .

39 : 2 = 19 - остаток 1 .

19: 2 = 9 - остаток 1 .

9 : 2 = 4 - остаток 1 .

4 : 2 = 2 - остаток 0 .

2 : 2 = 1 - остаток 0 .

Таким образом (159)₁₀ = (10011111)_{2 .}

- целая часть = 1 .

- целая часть равна 1 .

Таким образом (0.75)₁₀ = (0.11)₂ .

Тогда (159.75)₁₀ = (10011111.11)₂ .

Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным кодом (триадой).

(325.27)₈ = (011 010 101 . 010 111)_8-2 = (11010101.010111)₂

Незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записываются.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по три разряда - триады и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Неполные крайние триады дополняют нулями.

(10111011.01101)₂ = (010 111 011 . 011 010)_8-2 = (273.32)₈

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой.

(C876.F3)₁₆ = (1100 1000 0111 0110 . 1111 0011)_16-2 = (1100100001110110.11110011)₂

Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на тетрады и представить каждую тетраду цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.

(1011101101.101101101)₂ = (0010 1110 1101 . 1011 0110 1000)_16-2 = (2ED.B68)₁₆