- 5 -

Системы счисления

Системы счисления

Общие сведения о системах счисления

Система счисления - совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой). Примером такой системы является римская система счисления:

I - 1 , V - 5 , X - 10 , L - 50 , C - 100 , D - 500 , M - 1000

Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Примером может служить обычная (арабская) десятичная система счисления. Например, число 373, представленное в десятичной системе счисления, имеет в младшем и самом старшем разрядах цифру 3. Цифра 3 в старшем разряде имеет вес в 100 раз больше, чем в младшем разряде.

В позиционной системе счисления любое число, имеющее изображение

A_d = ± a_n a_n-1 a_n-2 … a₀ a_-1 … a_-m ,

может быть представлено в виде следующей суммы:

a_n a_n-1 a_n-2 … a₀ a_-1 … a_-m = a_n dⁿ + a_n-1 d^n-1 + … + a₀ d⁰ + a_-1 d^-1 + … a_-m d^-m

где n, m - целые числа (количество разрядов в целой и дробной части числа); a_i - цифра i-го разряда; d - основание системы; i - порядковый номер разряда.

Цифры a_i - необходимые для построения системы счисления, должны удовлетворять неравенству

0 £ a_i £ d - 1 .

Основанием системы счисления d называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления. За основание d можно принять любое число, большее единицы (так как в этом случае в ней был бы один символ 0, который может указать позицию цифры, но количественного значения не имеет).

Позиционные системы счисления

Двоичная система счисления является основной системой счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в устройствах ЭВМ.

Для двоичной системы счисления d = 2 и a_i = 0, 1 .

Любое число из двоичной системы счисления может быть переведено в десятичную, например,

Двоично-десятичная система счисления имеет основание d = 10 и каждая цифра (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) изображается четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Например,

(572.38)₁₀ = (0101 0111 0010 . 0011 1000)_2-10

Обратный переход делается также

(0010 1000 . 0101)_2-10 = (28.5)₁₀

Восьмеричная система счисления имеет основание d = 8 и a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 .Любое восьмеричное число может быть представлено соответствующим десятичным эквивалентом:

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание d = 16 и a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F .При таком изображении цифр в шестнадцатеричной системе счисления буква A изображает десять, B - одиннадцать, C - двенадцать, D - тринадцать, E - четырнадцать и F - пятнадцать.

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую Перевод целых чисел

Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d₁ в другую с основанием d₂ необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d₂ новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d_2. Последнее частное - старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d₂, а следующие за ней цифры - это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению.

Пример. Перевести число 25₁₀ в двоичную и восьмеричную системы счисления.

Решение.

25 : 2 = 12, остаток 1 .

12 : 2 = 6, остаток 0 .

6 : 2 = 3, остаток 0 .

3 : 2 = 1, остаток 1 .

Последнее частное = 1 и поэтому получаем (25)₁₀ = (11001)₂ .Остатки читаются снизу вверх.

25 : 8 = 3, остаток 1.

Последнее частное = 3 и поэтому (25)₁₀ = (31)₈ .