Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

9.1. Постановка задачи. Обыкновенные дифференциальные уравнения. По­рядок диф­ференциального уравнения. Общее решение обыкновенного диф­ферен­циа­ль­ного уравнения. Частное решение дифференциального уравнения. Гео­мет­ри­ческая интерпретация дифференциального уравнения первого по­ряд­ка. Теорема Коши. Задача Коши и граничная (краевая) задачи.

9.2. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

9.2.1. Метод Эйлера.

9.2.2. Модифицированный метод Эйлера

9.2.3. Усовершенствованный метод Эйлера

9.2.4. Метод Рунге-Кутта

9.3. Решение систем дифференциальных уравнений. Решение уравнений выс­­ших по­рядков.

9.4. Повышение точности полученных результатов.

Тема 10. Математическая обработка данных

10.1. Постановка задачи. Выбор эм­пи­рической формулы. Уточнение коэф­фици­ен­тов выбранной фор­мулы.

10.2. Построение эмпирических линейных зависимостей:

10.2.1. Построение зависимости y = ax. Метод выбранных точек. Метод сред­них. Метод наименьших квадратов.

10.2.2. Построение линейной зависимости y = a + bx. Метод выбранных точек. Ме­тод средних. Метод наименьших квадратов.

10.3. Выбор эмпирических формул для нелинейных зависимостей. Преобразование координат.

тема 11. ОПТИМИЗАЦИЯ

11.1. Постановка задачи. Понятие оптимизации. Переменные (факторы) опти­миза­ции. Целевая функция. Безусловная задача оптимизации. Условная задача оп­ти­мизации (задача с ограничениями). Виды ограничений. Локальный и гло­баль­ный экстремумы.

11.2. Оптимизация функции одной переменной. Теорема Вейерштрасса. Метод "зо­ло­того" сечения.

11.3. Оптимизация функции многих переменных. Минимум функции нескольких пе­ременных

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Тема 1

1. Десятичное число перевести сначала в шестнадцатиричную, а затем в вось­ми­рич­ную систему счисления и, наконец, в семеричную систему счисления. Перевод дроб­ной части делать с точностью d₂^-5 .

2. Восьмеричное число перевести в шестнадцатеричную, а потом в десятичную сис­те­му счисления.

Тема 7

Вычислить значение приведенного матричного выражения:

Тема 8

Вычислить определенный интеграл (кубическое уравнение) методами прямо­уголь­ни­ков ("вперед", "назад" и "по среднему"), трапеций и методом Симпсона.

Полученные результаты сравнить с аналитическим решением.

Тема 9

Решить дифференциальное уравнение методом Эйлера, модифицированным, усо­вер­шенствованным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта.

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Тема 4

1) Составить блок-схему вычисления суммы всех членов заданного ряда, не мень­ших заданного числа e.

2) Используя степенной ряд для данной функции найти коэффициенты в рацио­наль­ном приближении заданного вида.

.3) Исходя из полученного рационального приближения найти соответствующую ему непрерывную дробь заданного вида.

Тема 5

На заданном интервале найти корни уравнения четвертой степени, используя методы половинного деления, хорд, касательных и метод простой итерации.

Тема 6

1) Используя метод итераций решить систему двух нелинейных уравнений с точностью e = 0.05. Начальные приближения найти графическим способом.

2) Используя метод Ньютона решить систему двух нелинейных уравнений с точностью e = 0.05. Начальные приближения найти графическим способом.

Тема 7

1) Вычислить значение приведенного матричного выражения:

2) Обратить матрицу (3x3) методом Гаусса-Жордана. Вычислить определитель ис­ход­ной матрицы. Проверить правильность выполнения операции обращения.

3) Решить СЛАУ (3x3) методом Гаусса. Привести приведенную матрицу.

4) Решить СЛАУ (3x3) методом простой итерации и методом Гаусса-Зейделя. При­вес­ти три сходящиеся итерации.

5) Для данной СЛАУ (2x2) провести уточнение приведенного решения. Вычислить об­рат­ную матрицу и число обусловленности.

Тема 9

На заданном интервале решить систему двух дифференциальных уравнений пер­во­го порядка. Использовать метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.