5

Основы численных методов

Программа курса "основы численных методов"

Тема 1 : системы счисления.

1.1. Общие сведения о системах счисления: непозиционные и позиционные систе­мы счисления.

1.2. Позиционные системы счисления: двоичная, двоично-десятичная, восьме­рич­ная и шестнадцатеричная системы счисления

1.3. Перевод чисел из одной позиционной системы в другую: перевод целых чисел, пе­ревод правильных дробей, перевод смешанных чисел

1.4. Приближенные числа: десятичные числа с фиксированной точкой, чис­ла с пла­вающей точкой, нормализованная форма записи числа.

Тема 2: элементарная теория погрешностей.

2.1. Этапы решения задач на ЭВМ.

2.2. Понятие погрешности: приближенные числа, ошибка или погреш­ность приб­ли­женного числа, абсолютная погрешность приближенного числа, предельная аб­солютная погрешность, относительная погрешность приближенного числа, пре­дельная относительная погрешность

2.3. Значащая цифра, число верных знаков, верные значащие цифры, связь отно­си­тель­ной погрешности приближенного числа с количеством вер­ных знаков это­го числа.

2.4. Действия над приближенными числами: сложение, вычитание, умноже­ние, де­ле­ние, возведение в степень приближенного числа.

Погрешность суммы, погрешность разности, погрешность произве­де­ния, погрешность частного. Общая формула для погрешности. Обратная за­да­ча теории погрешностей: принцип равных влия­ний.

2.5. Основные источники погрешностей: погрешность математической модели, по­греш­ность исходных данных, погрешность численного метода, погреш­нос­ти вы­числений.

2.6. Устойчивость. Корректность. Сходимость (сходимость итерационного процес­са, сходимость ме­то­да).

Тема 3. Специальные приемы работы с цифрами.

3.1. Определение четности числа.

3.2. Определение суммы цифр числа.

3.3. Нахождение делителей числа.

3.4. Нахождение простых чисел: алгоритм "Решето Эратосфена"

3.5. Вычисления с N значащими цифрами:

3.5.1.Обратные величины от целого числа.

3.5.2. Вычисление факториала.

Тема 4. Вычисление значений функций.

4.1. Алгебраические функции (рациональные, целые рациональные, дроб­но-рацио­наль­ные функции, иррациональные функции). Трансцендентные функции. Об­ласть существования (облас­ть определения) функции. Функции возрас­таю­щие, убывающие, монотонные. Критические точки функции.

4.2. Вычисление функции (на примере синуса и косинуса) с помощью степенных ря­дов.

4..3. Вычисления функции с помощью полиномов Чебышева.

4.3.1. Вычисление ряда (схема Горнера).

4.4. Вычисление функции с помощью рационального приближения.

4.5. Вычисление функции с помощью цепных дробей:

Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений

5.1. Алгебраические и трансцендентные уравнения (область допустимых зна­че­ний урав­нения, общий вид уравнения с одним неизвестным, решение урав­не­ния, кор­ни уравнения).

5.2. Графические методы решения уравнений (представление уравнения в виде f(x) = 0 и в виде j(x) = g(x)).

5.3. Отделение корней (графический метод отделения корней, аналитический ме­тод отделения корней).

5.4. Уточнение корней:

5.4.1. Метод половинного деления (достоинства и недостатки метода). Оценка по­греш­ности приближенного корня.

5.4.2. Способ пропорциональных частей (метод хорд).

5.4.3. Метод Ньютона (метод касательных). Модификация метода Ньютона.

5.4.4. Метод итерации (метод последовательных приближений). Доста­точные ус­ловия сходимости итера­цион­ного процесса. Приведение уравнения f(x)=0 к виду x=j(x) для обеспечения выполнения неравенства ½j '(x)½ < 1.

5.5. Общие свойства алгебраических уравнений: