10.1 Методы прямоугольников

Этот метод непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точек x_i­ могут выбираться левые (x_i = x_i-1) или правые (x_i = x_i) границы элементарных отрезков. Обозначая f(x_i) = y_i и Dx_i = h_i , можно получить следующие формулы метода прямоугольников.

Широко распространенным и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах):

,

где x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i) / 2 = x_i-1 + h_i /2 , i=1,2,…,n

Этот алгоритм обычно называют методом средних.

Если применяют постоянный шаг интегрирования h_i = h = const, то последняя формула принимает вид:

Предельная абсолютная погрешность метода прямоугольников:

, где

Пример: вычислить интеграл

Решение: этот интеграл легко вычисляется аналитически по формуле Ньютона-Лейбница:

Если разбить отрезок на 5 частей, то можно получить h = 0.2 .

xi	yi	xi-1/2	yi-1/2
1.0	1.000	1.1	1.049
1.2	1.095	1.3	1.140
1.4	1.183	1.5	1.225
1.6	1.265	1.7	1.304
1.8	1.342	1.9	1.378
2.0	1.414

Тогда

а) метод "левых" прямоугольников:

S=0.2*(1.000+1.095+1.183+1.265+1.342)=1.177

Погрешность решения составляет 1.177-1.219=-0.042 (около 3.44 %)

б) метод "правых" прямоугольников:

S=0.2*(1.095+1.183+1.265+1.342+1.414)=1.2598

Погрешность решения составляет 1.2598-1.219=0.0408 (около 3.35 %)

в) метод прямоугольников "по среднему":

S=0.2*(1.049+1.140+1.225+1.304+1.378)=1.2192

Погрешность решения составляет 1.2192-1.219=0.0002 (около 0.016 %)

Погрешность метода:

На отрезке [ 1,2 ] производная достигает наибольшего значения f’(x) = 0.5 в точке x=1. Таким образом М₁ = 0.5 . Тогда по формуле погрешности можно получить

Отсюда можно убедиться, что во всех случаях точное решение находится в интервале полученное решение ± 0.05 .

10.2 Метод трапеций

Этот метод использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, y_i). В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций.

Площадь первой трапеции (s₁) равна

Аналогично:

. . . . . . . . . . . .

и, следовательно,

Отсюда, учитывая, что y_k = f(x_k), можно получить исходную формулу метода трапеций:

где c_j = 1, 2, 2, … , 2, 1 .

Чем больше n, тем точнее, при прочих равных условиях, данная формула. Исключение составляет лишь тот очевидный случай, когда функция f(x) линейна, тогда формула дает точные результаты при n = 2.

Предельная абсолютная погрешность метода трапеций:

, где

Пример - вычислить тот же интеграл.

Решение:

S = 0.1*(1.000+2*1.095+2*1.183+2*1.265+2*1.342+1.414) = 1.2184

Погрешность решения составляет 1.2184 - 1.219 = -0.0006 (около 0.05 %)

Погрешность метода:

Таким образом, на отрезке [ 1,2 ] получим ½f’’(x)½ £ 1/4 = 0.25. Тогда по формуле:

В общем случае погрешность R_nчисленного значения S_nравна

Она зависит от шага разбиения, и ее можно представить в виде R_n = O(h^k) . В случае переменного шага можно принять h = max(h_i) .Из этого представления погрешности численного интегрирования следует, что при h®0 ( n®¥) значения интеграла, получаемые путем численного интегрирования, сходятся к его точному значению.

На основании формул прямоугольников и трапеций можно получить уточненные значения интегралов, если учесть характер погрешностей этих формул. Главный член погрешности формулы прямоугольников (по среднему) на каждом отрезке [x_i-1, x_i] равен h³ * f^IV(x_{i - 1/2)}/24; для формулы трапеций он равен -h³ * f''(x_i)/12, т.е. примерно вдвое больше и имеет другой знак. На основании этого можно записать уточненную формулу для вычисления определенного интеграла с использованием значений I₁и I₂, вычисленных по методам прямоугольников и трапеций:

I »(2I₁+ I₂)/3 .

Для рассмотренного выше примера получено I₁= 1.2192, I₂= 1.2184. Поэтому

I = (2*1.2192 + 1.2184)/3 = 1.2189 .

Т.е. с точностью до погрешности округления все разряды равны точным значениям.

Поскольку погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения, то, уменьшая его, можно добиться большей точности. На практике для этого обычно используют удвоение числа разбиений. При этом сравнивают две величины – значение, полученное при исходном и при удвоенном числе разбиений. Если эта разность лежит в пределах заданной точности, то прекращают вычисления. Если же выбранная точность не достигнута, то снова удваивают число разбиений.

Если функция задана таблично, то такой подход нельзя применять. Поэтому для повышения точности используют метод парабол (или метод Симпсона).