- 10-

Численное интегрирование

10. Численное интегрирование

Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). С помощью точек x₀, x₁, … , x_n отрезок [a,b] можно разбить на n элементарных отрезков [x_i-1, x_i] (i=1,2,…,n), причем x₀ = a, x_n = b. На каждом из этих отрезков можно выбрать произвольную точку x_i ( x_i-1 £ x_i £ x_i ) и найти произведение s_i значения функции в этой точке f(x_i) на длину элементарного отрезка Dx_i = x_i - x_i-1 :

s_i = f(x_i) Dx_i .

Теперь можно составить сумму всех таких произведений:

Сумма S_n называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения; при этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Теорема существования определенного интеграла: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки, ни от выбора точек x_i.

Геометрический смысл введенных понятий для случая f(x)>0 проиллюстрирован на рисунке. Абсциссами точек M_i являются значения x_i . ординатами - значения f(x_i). Выражения s_i = f(x_i)*Dx_i при i=1,2,…,n описывают площади элементарных прямоугольников (штриховые линии), интегральная сумма - площадь ступенчатой фигуры, образуемой этими прямоугольниками. При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к нулю всех элементов Dx_i верхняя граница фигуры (ломаная) переходит в линию y=f(x). Площадь полученной фигуры, которую называют криволинейной трапецией, равна определенному интегралу.

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с помощью неопределенного интеграла (вернее, первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной F(x) на отрезке интегрирования:

Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1) вид функции f(x) может не допускать непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;

2) значения функции f(x) могут быть заданы только на фиксированном конечном множестве точек x_i , т.е. функция задается в виде таблицы.

В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на замене подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами.

Одним из таких способов, который может быть использован для вычисления интегралов в первом случае, является представление подынтегральной функции в виде степенного ряда (ряда Тейлора). Это позволяет свести вычисление интеграла от сложной функции к интегрированию многочлена, представляющего первые несколько членов ряда.

Пример - вычислить интеграл с погрешностью 10^-4 .

Решение: воспользуемся разложение экспоненты в ряд

Используя это выражение и заменяя x на -x², запишем интеграл в виде:

Более универсальными методами, которые пригодны для обоих случаев, являются методы численного интегрирования, основанные на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов. Это позволяет приближенно заменить определенный интеграл интегральной суммой. В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования: методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.