Определение коэффициентов найденной модели

Для этого можно воспользоваться теми же тремя методами:

• Метод выбранных точек - на построенной кривой выбирают две произвольные точки M (x₁*,y₁*) и N (x₂*,y₂*), после чего составляют систему

  .

  Решают эту систему относительно искомых параметров a и b, после чего подставляют найденные значения в функцию y = f(x,a,b) .

• Метод средних - согласно методу средних, за наилучшее положение кривой принимается то, для которого алгебраическая сумма отклонений равна нулю, т.е.

  

  Для определения параметров a и b по методу средних вся совокупность e_i (i=1,2,…,n) разбивается на две группы так, чтобы алгебраическая сумма отклонений каждой группы равнялась нулю. Таким образом, для определения параметров a и b получают следующую систему двух уравнений:

  

  где k и n-k - количество табличных данных соответственно для первой и второй группы.

  Заменив сумму разностей разностью сумм в каждом уравнении системы, получают

  

  Совместное решение этой системы определяет численные значения двух параметров a и b, подставив которые в y = f(x,a,b), получают искомое эмпирическое соотношение.

• Метод наименьших квадратов - согласно нему наилучшими параметрами a и b считаются те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна:

Если продифференцировать это выражение по варьируемым параметрам, то получим

В силу необходимого условия экстремума функции многих переменных, наилучшими значениями параметров a и b служат те, при которых частные производные этой функции по варьируемым параметрам обращаются в нуль:

Решение этой системы относительно a и b и дает искомые наилучшие значения числовых параметров.

Преобразование координат

В ряде случаев имеют нелинейную зависимость y=f(x,a,b), которая непрерывна и монотонна на замкнутом отрезке [x₁, x₂]. Переходом к новым переменным q = j(x) и z = y(y) добиваются того, чтобы в новой системе координат q0z эмпирическая зависимость стала линейной

z = a + bq .

Примеры подобных преобразований:

1) Для показательной зависимости вида y = a b^x, логарифмируя, имеют lg(y) = lg(a) + x*lg(b). Полагая A=lg(a), B=lg(b), z=lg(y), q=x можно получить z = A + Bq .

2) Дробно-рациональная функция y=1/(a+bx). Ищут обратную зависимость: 1/y=ax+b. Вводя обозначения q = x и z=1/y, получают линейную зависимость z = a + bq .

3) Для логарифмической функции y = a + b * ln(x) вводят новые переменные q=ln(x) и z=y .

4) В случае степенной функции y = a x^b (если a >0 и b > 0) логарифмируют исходное выражение. При этом получают lg(y)=lg(a)+b lg(x). Полагая z = lg(y), q = lg(x), A = lg(a), получают уравнение z = A + b x. Полученную прямую удобно строить, если оси q и z в плоскости qOz взять в логарифмическом масштабе. Началом координат логарифмической сетки служит точка q=0 и z=A.

5) Используя гиперболическую функцию вида y = a + b/x производят замену переменных q=1/x, z=y.

6) Для дробно-рациональной функции вида y = x/(a+bx).ищут обратную функцию 1/y=b+a/x. Вводя новые координаты z=1/y и q=1/x, опять получают линейную зависимость z=b+a x.

Чтобы выбрать необходимую функцию необходимо вычислить так называемый коэффициент корреляции. Для зависимости y = a + bx применяется следующая формула:

Пример. Имеются следующие опытные данные

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	0.33	0.49	0.59	0.65	0.71	0.755	0.77	0.81	0.82

Найти подходящую эмпирическую формулу.

Решение.

Построим график и определим тип кривой.

Для исходного набора данных коэффициент корреляции равен r = 0.8961.

Аналитическая функция, достаточно хорошо соответствующая исходным данным, есть дробно-рациональная функция вида y=x/(a+bx). Для этой функции будет максимальный коэффициент корреляции (r = 0.9996).

Для нахождения ее коэффициентов рассмотрим обратную функцию 1/y=b+a/x. Если ввести новые переменные z=1/y и q=1/x, то в плоскости qOz можно получить линейную зависимость

z = b + a q.

Для того, чтобы найти величины q и z необходимо составить новую таблицу:

q=1/x	1	0.5	0.333	0.25	0.2	0.166	0.143	0.125	0.111
z=1/y	3	2	1.66	1.54	1.41	1.32	1.3	1.24	1.22

График этой функции имеет следующий вид. Как видно, все экспериментальные точки лежат на одной прямой. Следовательно, вид зависимости подобран правильно. Остается определить параметры a и b.

Для этого используем метод выбранных точек. Если взять первую и предпоследнюю точки, то можно получить следующую систему уравнений:

3 = b + a

1.24 = b + 0.125a

Решая эту систему получим a=2 и b=1.

Следовательно, исходное уравнение имеет следующий вид y = x / (x+2) .

Для этой же функции прямую линию можно получить и другим способом - если принять z = x/y, то также получится прямая: z = a + bx .