Выбор эмпирических формул для нелинейных зависимостей

Если искомая функция на графике не ложится на прямую, то трудно сказать, какой аналитический вид она имеет. Поэтому можно воспользоваться следующими рекомендациями:

Пусть y функция одной переменной с двумя параметрами a и b. В качестве набора функций, из которых будем выбирать эмпирическую зависимость можно рассмотреть:

1) линейную функцию y = a+bx;

2) показательную функцию y = a * b^x;

3) дробно-рациональную функцию y = 1/ (a+bx);

4) логарифмическую функцию y = a + b * ln(x);

5) степенную функцию y = a * x^b (она определяет параболическую зависимость, если параметр b > 0, и гиперболическую зависимость, если b < 0; если же параметр b = 0, то зависимость вырождается в линейную);

6) гиперболическую функцию вида y = a + b/x;

7) дробно-рациональную функцию вида y = x/(a+bx).

Для наилучшего выбора вида аналитической зависимости y = f(x,a,b) выполняют следующие промежуточные вычисления:

1) на заданном отрезке изменения независимой переменной выбирают точки, достаточно надежные и по возможности далеко отстоящие друг от друга. Для простоты будем считать, что это точки x₁ и x_n. Для этих точек имеют значения y₁ и y_n.

Вычисляют

среднее арифметическое

среднее геометрическое

среднее гармоническое

2) По вычисленным значениям независимой переменной из построенного графика находят соответствующие значения зависимой переменной

y₁* = f(x_arif)

y₂* = f(x_geom)

y₃* = f(x_garm)

для пока еще неизвестной аналитической зависимости y = f(x,a,b).

3) Выполняют вспомогательные вычисления для зависимой переменной. Вычисляют

среднее арифметическое

среднее геометрическое

среднее гармоническое

4) Сравнивают найденные из графика значения y₁*,y₂* и y₃* с вычисленными значениями y_arif, y_geom и y_garm и оценивают следующие погрешности результата сравнения:

e₁ = ½y₁* - y_arif½ : e₂ = ½y₁* - y_geom½ : e₃ = ½y₁* - y_garm½

e₄ = ½y₂* - y_arif½ : e₅ = ½y₂* - y_geom½ : e₆ = ½y₃* - y_arif½ : e₇ = ½y₃* - y_garm½

Из этих ошибок находится минимальная:

e = min{e₁, e₂, …, e₇}.

1) Если минимальной ошибкой окажется e₁, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит линейная функция y = a + bx .

2) Если наименьшей абсолютной ошибкой является e₂, то в качестве эмпирической зависимости следует выбрать показательную функцию y = a * b^x.

3) В том случае, когда наименьшая из абсолютных ошибок есть e₃, искомая эмпирическая зависимость определяет дробно-рациональную функцию y = 1/ (a+bx).

4) Если наименьшая из абсолютных ошибок есть e₄, то хорошим приближением служит логарифмическая функция y = a + b * ln(x).

5) Для случая, когда наименьшей абсолютной ошибкой является e₅, в качестве эмпирической зависимости выбирается степенная функция y = a * x^b.

6) Если наименьшей из абсолютных ошибок окажется e₆, то за искомую зависимость следует выбрать гиперболическую функцию вида y = a + b/x.

7) В том случае, когда наименьшая из абсолютных ошибок есть e₇, в качестве аналитической зависимости выбирается дробно-рациональная функция вида y = x/(a+bx).

Пример. Подобрать эмпирическую зависимость для функции, заданной таблично

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	521	308	240.5	204	183	171	159	152	147

Построим график функции

1) Предположим, что в данном примере крайние табличные значения достаточно надежны. Проведем вспомогательные вычисления и найдем для крайних значений независимой переменной x₁=1 и x₉=9 среднее арифметическое x_arif = 5, x_geom = 3 и x_garm = 1.8 .

2) Из графика найдем значения функции, соответствующие вычисленным значениям аргумента: y₁* = f(5) » 180; y₂* = f(3) » 240 и y₃* = f(1.8) » 341 .

3) Выполним дополнительные расчеты для зависимой переменной. Найдем для крайних значений среднее арифметическое y_arif = (521+147)/2 = 334; y_geom = 274 и y_garm = 228 .

4) Сравним найденные графически значения зависимой переменной с y_arif , y_geom и y_garm

e₁ = ½y₁* - y_arif½ = ½180 -334½ = 154 : e₂ = ½y₁* - y_geom½ = ½180 - 274½ = 94

e₃ = ½y₁* - y_garm½ = ½180 -228½ = 48 : e₄ = ½y₂* - y_arif½ = ½240 - 334½ = 94

e₅ = ½y₂* - y_geom½ = ½240 - 274½ = 34 : e₆ = ½y₃* - y_arif½ = ½341 - 334½ = 7

e₇ = ½y₃* - y_garm½ = ½341 - 228½ = 113 .

Так как наименьшая из абсолютных ошибок есть e₆, то в качестве аналитической зависимости следует выбрать гиперболическую зависимость вида y = a + b/x.