1. , Отсюда
2. , Откуда
Таким образом видно, что в зависимости от выбранного критерия оптимизации получены разные ответы. В первом случае высота "наилучшей" банки равна ее диаметру, а во втором случае - она в p раз больше диаметра.
Оптимизация функции одной переменной
Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом: найти наибольшее (наименьшее) значение целевой функции y=f(x), заданной на множестве Х, и определить значение параметра оптимизации xopt Î Х, при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Существование решения этой задачи вытекает из следующей теоремы:
Теорема Вейерштрасса. Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, т.е. на отрезке [a,b] существуют такие точки x1 и x2, что для любого x Î [a,b] имеют место неравенства
f(x1) £ f(x) £ f(x2) .
Вполне возможно, что равные экстремальные значения достигаются сразу в нескольких точках данного отрезка (например, периодические функции).
Простейший метод оптимизации существует для дифференцируемой функции f(x), имеющей явное аналитическое выражение и определенной на отрезке [a,b]. Эта функция может достигать своего экстремального значения либо в граничных точках отрезка [a,b], либо в точках минимума и максимума. Последние точки обязательно должны быть критическими, т.е. производная f '(x) в этих точках обращается в ноль - это необходимое условие существования экстремума.
К сожалению, приведенный способ решения задачи оптимизации применим не всегда. Можно выделить следующие причины этого:
1. Функция может иметь сложное аналитическое выражение, в результате чего аналитическое дифференцирование вызывает затруднения. Кроме этого, даже если это аналитическое выражение найдено, то его решение может оказаться не таким простым делом.
2. Кроме необходимых условий существования экстремума существуют еще и достаточные условия. В случае функции одной переменной они выглядят следующим образом: в исследуемой точке первые n-1 производные равны нулю, а n-ая производная отлична от нуля. При этом, если n - нечетное, то данная точка является точкой перегиба, а если n - четное, то точкой экстремума. Если при этом данная производная положительна, то исследуемая точка является точкой минимума, а если отрицательна - то точкой максимума.
Примеры:
а) f(x) = x2 = 0. ¶f(x)/¶x = 2x = 0 (при x = 0). ¶2f(x)/¶x2 = 2 ¹ 0. Так как вторая производная положительна, то в точке x = 0 будем иметь минимум.
б) f(x) = - x2 . ¶f(x)/¶x = - 2x = 0 (при x = 0). ¶2f(x)/¶x2 = -2 ¹ 0. Так как вторая производная отрицательна, то в точке x = 0 будем иметь максимум.
в) f(x) = x3 . ¶f(x)/¶x = 3x2 = 0 (при x = 0). ¶2f(x)/¶x2 = 6x (при x = 0). ¶3f(x)/¶x3 = 6 = 0. Так как старшая производная нечетная, то в точке x = 0 будут иметь точку перегиба.
3. В ряде случаев аналитическое выражение исследуемой функции может вообще отсутствовать.
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x)=x3./3-x2 на отрезке [1,3].
Решение. Вычислим производную этой функции f'(x)=x2-2х. Приравнивая ее нулю, найдем критические точки: x1=0 и x2=2. Точка x1=0 лежит вне рассматриваемого отрезка, поэтому для анализа остаются три точки:
a=1, x2=2 и b=3.
Вычисляем значения функции в этих точках:
f(1) = -2/3 , f(2) = -4/3 , f(3) = 0 .
Тогда fmin = f(2) = - 4/3 и fmax - f(3) = 0 .
В этом примере уравнение f '(x)=0 для отыскания критических точек удалось решить непосредственно. Для более сложных видов производной функции f '(x) необходимо использовать численные методы решения уравнений.
В общем случае целевая функция может быть задана в табличном виде или может быть вычислена при некоторых дискретных значениях аргумента. Поэтому используют различные методы поиска экстремума. Они основаны на вычислении целевой функции в отдельных точках и выборе среди них наибольшего или наименьшего значения.