- 13-

Оптимизация

Оптимизация

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении задач эти параметры обычно называют переменными или факторами оптимизации. Их число (x₁, x₂, … , x_n) определяет размерность задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины. Эта величина называется целевой функцией. В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения переменных оптимизации, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум).

Целевую функцию в общем виде можно записать следующим образом

u = f(x₁, x₂, …, x_n)

Различают одно- и многофакторную оптимизацию. В случае однофакторной оптимизации целевая функция является функцией одной переменной, и ее график - некоторая кривая на плоскости. При n=2, например, целевая функция является функцией двух переменных, и ее графиком является поверхность.

Целевая функция не всегда может быть представлена в виде формулы. Иногда она может принимать некоторые дискретные значения, задаваться в виде таблицы и т.п.

Задачи оптимизации. Можно выделить два типа задач оптимизации - безусловные и условные.

Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции от n действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный.

Условные задачи оптимизации или задачи с ограничениями, - это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения). Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

Ограничения-равенства выражают зависимость между переменными оптимизации, которая должна учитываться при нахождении решения. Число ограничений-равенств m может быть произвольным. Их можно записать в виде:

g₁(x₁, x₂, … , x_n) = 0

g₂(x₁, x₂, … , x_n) = 0

. . . . .

g_m(x₁, x₂, … , x_n) = 0

В ряде случаев из этих соотношений можно выразить одни переменные оптимизации через другие. Это приводит к уменьшению размерности задачи и облегчает ее решение.

Аналогично могут также вводиться ограничения-неравенства, имеющие вид:

a₁ £ j₁(x₁, x₂, … , x_n) £ b₁

a₂ £ j₁(x₁, x₂, … , x_n) £ b₂

a_k £ j₁(x₁, x₂, … , x_n) £ b_k

Следует отметить особенность в отыскании решения при наличии ограничений. Оптимальное решение здесь может соответствовать либо локальному экстремуму (максимуму или минимуму) внутри области переменных задачи, либо значению целевой функции на границе этой области.

Если же ограничения отсутствуют, то ищется оптимальное решение на всей области исследования, т.е. глобальный экстремум.

Пример постановки задачи. Разработать наилучший вариант консервной банки фиксированного объема, имеющей обычную форму прямого кругового цилиндра.

Необходимо сразу указать по какому признаку следует сравнивать банки между собой, т.е. указать, какая банка считается наилучшей. Говоря другими словами, следует указать цель оптимизации. В нашем случае можно указать два критерия оптимизации:

1. Наилучшая банка должна иметь наименьшую поверхность S (в этом случае на ее изготовление пойдет наименьшее количество жести);

2. Наилучшая банка должна иметь наименьшую длину шва l (в этом случае минимизируют работу по сварке шва).

Для решения этой задачи необходимо записать формулы для объема банки, площади ее поверхности и длины шва:

V = pr²h S = 2pr² + 2prh l = 4pr + h

Из первого уравнения можно выразить высоту через радиус h = V/(pr²) и подставить полученное выражение в формулы для поверхности и длины швов:

S(r) = 2pr² + 2V/r 0 < r < ¥

l(r) = 4pr + V/(pr²) 0 < r < ¥

Таким образом, с математической точки зрения, задача о наилучшей консервной банке сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего наименьшего значения в одном случае функция S(r), а в другом - функция l(r).

Для решения этой задачи можно использовать необходимые условия существования экстремума, т.е. взять частные производные от функций S(r) и l(r) и, приравняв их нулю, найти оптимальную величину r и h.