Метод итерации для нелинейной системы уравнений

Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений

F₁(x,y) = 0

F₂(x,y) = 0

с заданной точностью.

Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде:

x = j₁(x,y)

y = j₂(x,y)

Пусть x₀ и y₀ - начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо дру­гим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений мож­но получить

x₁ = j₁(x₀,y₀)

y₁ = j₂(x₀,y₀)

Аналогично можно получить второе приближение

x₂ = j₁(x₁,y₁)

y₂ = j₂(x₁,y₁)

В общем случае

x_n = j₁(x_n-1,y_n-1)

y_n = j₂(x_n-1,y_n-1)

Если функции j₁(x,y) и j₂(x,y) непрерывны и последовательности x₁, x₂, … , x_n, … и y₁, y₂, … , y_n, … сходятся, то пределы их дают решение приведенной, а следовательно, и исходной системы.

Теорема об условиях сходимости итерационного процесса в этом случае выглядит следую­щим образом:

Пусть в некоторой замкнутой окрестности R (a £ x £ A, b £ y £ B) имеется одно и толь­ко одно решение x = x* и y = y* приведенной системы.

Тогда если:

1) Функции j1(X,y) и j2(X,y) определены и непрерывно дифференцируемы в r;

2) начальные приближения x₀, y₀ и все последующие приближения x_n, y_n (n = 1,2, …) при­над­лежат R;

3) В r выполнены неравенства

или неравенства

то процесс последовательных приближений сходится к решению x = x*, y = y* .

Оценка погрешности n-го приближения определяется неравенством:

где M - наибольшее из чисел q₁ и q₂, входящих в эти неравенства.

Сходимость метода считается хорошей, если M < 0.5; при этом M/(1-M)<1. Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0.001 .

Пример.

Методом итерации решить систему

sin(x-0.6) - y = 1.6

3x - cos(y) = 0.9

с точностью до e = 0.001 .

Решение:

1) Приведем систему к приведенной форме:

x = cos(y) / 3 + 0.3 = j₁(x,y)

y = sin(x - 0.6) - 1.6 = j₂(x,y)

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Самый простой способ - гра­фи­ческое отделение корней. Построив два графика x = cos(y) / 3 + 0.3 и y = sin(x - 0.6) - 1.6 и най­дя их точку пересечения можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в об­ласти 0 < x < 0.3 и -2.2 < y < -1.8 .

3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:

:

:

Следовательно

и

т.е. условия сходимости выполняются.

4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:

x = cos(y) / 3 + 0.3

y = sin(x - 0.6) - 1.6

Выбирают следующие начальные значения: x₀ = 0.15 , y₀ = -2 .

n	xn	yn	xn-0.6	sin(xn-0.6)	cos(yn)	cos(yn)/3	½xn-xn-1½	½yn-yn-1½
0	0.15	-2	-0.45	-0.4350	-0.4161	-0.1384
1	0.1616	-2.035	-0.4384	-0.4245	-0.4477	-0.1492	0.0116	0.035
2	0.1508	-2.0245	-0.4492	-0.4342	-0.4382	-0.1461	0.0108	0.0105
3	0.1539	-2.0342	-0.4461	-0.4313	-0.4470	-0.1490	0.0031	0.0097
4	0.1510	-2.0313	-0.4490	-0.4341	-0.4444	-0.1481	0.0039	0.0029
5	0.1519	-2.0341	-0.4481	-0.4333	-0.4469	-0.1490	0.0009	0.0028
6	0.1510	-2.0333					0.0009	0.0008

Таким образом, x » 0.151 и y » -2.033 .