- 6 -

Системы нелинейных уравнений

Системы нелинейных уравнений

Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений.

Пусть для вычисления неизвестных x₁, x₂, … , x_n требуется решить систему n нелинейных урав­нений:

F₁(x₁, x₂, … , x_n) = 0

F₂(x₁, x₂, … , x_n) = 0

. . . . .

F_n(x₁, x₂, … , x_n) = 0

В отличие от решения СЛАУ не существует прямых методов решения систем нелинейных урав­нений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким об­ра­зом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.

В общем случае для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итера­ци­онные методы.

Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений

В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функ­ций F_i(x₁, x₂, … , x_n) в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производ­ные более высоких порядков), отбрасываются.

Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыду­щей итерации) равны соответственно а₁, а₂, … , а_n .Задача состоит в нахождении приращений (по­пра­вок) в этим значениям Dx₁, Dx₂, … , Dx_n , благодаря которым решение исходной системы за­пи­шется в виде:

x₁ = a₁ + Dx₁ , x₂ = a₂ + Dx₂ , , . . . . . , x_n = a_{n +} Dx_{n .}

Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничи­ва­ясь лишь линейными членами относительно приращений:

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в ноль, то можно приравнять ну­лю и правые части:

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Значения F₁, F₂ , … , F_n и их производные вычисляются при x₁ = a₁ , x₂ = a₂ , … , x_n = a_n­ .

Определителем последней системы является якобиан:

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений Dx₁, Dx₂, … , Dx_n к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хо­рошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения систе­мы двух уравнений:

F₁(x,y) = 0

F₂(x,y) = 0

где F₁ и F₂ - непрерывно дифференцируемые функции.

Пусть начальные значения неизвестных равны a, b .

После разложения исходной системы в ряд Тэейлора можно получить:

Предположим, что якобиан системы при x = a и y = b отличен от нуля:

Тогда значения Dx и Dy можно найти, используя правило Крамера следующим образом:

и

Вычислив значения Dx и Dy можно найти следующие приближения неизвестных по фор­му­лам:

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x = a и y = b .

Ниже приводится блок-схема метода Ньютона для решения системы двух нелинейных урав­нений. В качестве исходных данных задаются начальные приближения неизвестных a, b , пог­решность решения e и допустимое число итераций М. Если итерации сойдутся, то выводятся зна­чения x и y; в противном случае происходит вывод x, y, M .

Ввод a, b, e, M

i=1

Вычисление J

A=F₁/J B=F₂/J

a=x b=y i=i+1

Нет |x-a|>e Да

Да Да

½y-b½>e i < M

Нет Нет

Вывод x,y Вывод x,y,M

Конец

Пример.

Методом Ньютона решить систему двух уравнений:

2x² + 3y² - 6y - 4 = 0

x² - 3y² + 4x - 2 = 0

Решение:

1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепи­шем систему в виде:

2x² + 3(y-1)² = 7

(x + 2)² - 3 y² = 6

Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу. Данная сис­те­ма имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области 0.5<x<0.6 и -0.48<y<-0.44 .

За начальное приближение принимают x₀ = 0.5 и y₀ = -0.46.

2) Находим

F₁(x,y) = 2x² + 3y² - 6y -4 : F₂(x,y) = x² + 4x -3y² -2

F₁'_x = 4x : F₁'_y = 6y - 6 : F₂'_x = 2x + 4 : F₂'_y = -6y

n	xn	F1(xn,yn)	F1'x(xn,yn)	F1'y(xn,yn)	Dn
	yn	F2(xn,yn)	F2'x(xn,yn)	F2'y(xn,yn)
0	0.5	-0.1052	2	-8.76	49.32
	-0.46	-0.3848	5	2.76
1	0.5742	0.0114	2.2968	-8.7306	51.2203
	-0.4551	0.0052	5.1484	2.7306
2	0.5727	0.00006	2.2908	-8.7252	51.1375
	-0.4542	-0.00011	5.1454	2.7252
3	0.5727
	-0.4542

Окончательный ответ: x » 0.573 и y » -0.454