Общие свойства алгебраических уравнений Определение числа действительных корней алгебраического уравнения.

Общие свойства алгебраического уравнения:

В общем виде алгебраическое уравнение может быть записано в виде:

P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ .

где P_n(x) - многочлен n-ой степени, n - наивысшая степень при неизвестном, a₀, a₁, … , a_n - действительные коэффициенты.

Всякое число x, обращающее многочлен в ноль, т.е. P_n(x) = 0 называется корнем многочлена. Согласно основной теореме алгебры, многочлен P_n(x) степени n (n ³ 1) с любыми числовыми коэффициентами, имеет n корней, если каждый из корней считать столько раз, какова его кратность.

Число x является корнем многочлена P_n(x) тогда и только тогда, когда P_n(x) делится без остатка на х - x . Если при этом P_n(x) делится без остатка на (х-x)^k (k ³1), но уже не делится на (х-x)^k+1, то x называется k-кратным корнем (или корнем кратности k) многочлена P_n(x). Корни кратности k=1 называются простыми корнями многочлена.

Прежде чем вычислять корни алгебраического уравнения, сначала необходимо:

а) определить число корней, которое имеет данное уравнение;

б) найти область существования корней (установить верхнюю и нижнюю границу расположения корней).

Определение числа действительных корней алгебраических уравнений.

Для этого используют правило Декарта:

Количество действительных положительных корней алгебраического уравнения P_n(x) = 0 с действительными коэффициентами либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов уравнения P_n(x) = 0, либо на четное число меньше (равные нулю коэффициенты не учитываются).

Количество отрицательных корней уравнения равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов P_n(-x) = 0 или на четное число меньше.

Пример:

x⁵ - 17x⁴ + 12x³ + 7x² - x + 1 = 0 .

Это уравнение имеет пять корней (из них хотя бы один является действительным).

Уравнение является полным, последовательность знаков коэффициентов уравнения такова: + , - , + , + , - , + . Знак изменяется четыре раза - значит, положительных корней будет либо четыре, либо два, либо ни одного.

Заменив х на -х, получим:

-x⁵ - 17x⁴ - 12x³ + 7x² + x + 1 = 0

число постоянств знака равно одному, следовательно, уравнение имеет один отрицательный корень.

Пример:

x⁶ - 3x⁴ + x³ + x² - 1 = 0 .

Данное уравнение имеет шесть корней; последовательность знаков: + , - , + , + , - . Имеет место три перемены знака; следовательно, положительных корней либо 3 либо 1.

Для многочлена

P_n(-x) = x⁶ - 3x⁴ - x³ + x² - 1 = 0 .

последовательность знаков: + , - , - , + , - . Здесь также три перемены знака - поэтому число отрицательных корней либо 3, либо 1.

Нахождение области существования корней алгебраического уравнения

Правило кольца - пусть дано алгебраическое уравнение

P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ , где

a₀, a₁, … , a_n - действительные коэффициенты, и пусть

A = max {½a₀½, ½a₁½, … , ½a_n-1½} , B = max {½a₁½, ½a₂½, … , ½a_n½} .

Тогда корни уравнения заключены в круговом кольце r < ½x½ < R , где

; .

При этом r - нижняя, а R - верхняя граница положительных корней алгебраического уравнения P_n(x) = 0, и -R, -r - соответственно нижняя и верхняя граница отрицательных корней.

Пример. Определить границы корней уравнения 5x³ - 20x + 3 = 0 .

Здесь ½a_n½ = 5, A = 20 , ½a₀½ = 3, B = 20, т.е.

.и

Тогда, если действительные корни уравнения 5x³ - 20x + 3 + 0 существуют (а они обязательно существуют, так как уравнение нечетной степени), то они расположены в интервале (-5, 5); при этом отрицательные корни лежат в интервале (-5, -0.013), а положительные - в интервале (0.013, 5).

Метод Ньютона - если при х = с многочлен

P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

и его производные P_n^'(x), P_n^''(x), … принимают положительные значения, то с является верхней границей положительных корней уравнения P_n(х) = 0 .

Пример. Методом Ньютона определить верхнюю границу положительных корней уравнения 8x⁴ - 32x² - 32х + 1 = 0 .

Находим

P(x) = 8x⁴ - 32x² - 32х + 1 ; P'(x) = 32x³ - 16x - 32 ;

P^''(x) = 96x² - 16 ; P^'''(x) = 192x ; P^IV(x) = 192 .

Проверке подлежат только значения x > 0.

При x=c=1 имеем P(1)< 0. Значит проводить далее проверку для х=1 не следует.

Проверка x=c=2:

P(2) > 0 ; P^'(x) > 0 ; P^''(x) > 0 ; P^'''(2) > 0 : P^IV(x) > 0 .

Таким образом, верхней границей положительных корней является число R = 2. В качестве нижней границы можно взять число, обратное R, т.е. r = 1/2 = 0.5 .

Необходимо добавить оценку скорости сходимости методов