Уточнение корней Метод половинного деления

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)*f(b) < 0.

Для нахождения корня этого уравнения, принадлежащего отрезку [a,b] делим этот отрезок пополам. Если , тоявляется корнем уравнения. Если, то выбирают ту половину отрезкаили, на концах которого функцияf(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный интервал [a₁,b₁] снова делят пополам и проводят то же рассмотрение. В результате получают на каком-то этапе или точный корень уравнения, или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [a₁,b₁], [a₂,b₂], … , [a_n,b_n], … таких, что f(a_n)*f(b_n) < 0 (n = 1,2, …) и

.

Так как левые концы a₁, a₂, … , a_n, … образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы b₁, b₂, … , b_n, … - монотонную не возрастающую ограниченную последовательность, то существует общий предел

.

Отсюда f(x) = 0, т.е. x является корнем уравнения, причем, очевидно,

.

Метод половинного деления удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.

Блок-схема метод

Ввод a,b,e

Вычисление f(a)

x = (a+b)/2

Вычисление f(x)

b=x a=x

(Нет) if f(a)*f(x)>0 (Да)

(Да)

if abs(f(x))> e

(Нет)

Вывод x, f(x)

Достоинства метода:

1. Простота метода.

2. Решение находится независимо от вида функции.

3. Число итераций определяется только величиной первоначального отрезка и выбранной точностью и может быть рассчитано по формуле:

Недостатки метода:

1. Если ½b-a½ >> e, то необходимо большое количество итераций.

2. Нельзя увеличить скорость сходимости к решению.

Пример. Уточнить корень уравнения f(x) = x⁴ + 2x³ - x - 1 = 0, лежащий на отрезке [0,1] с точностью e = 0.05 .

N	a	b	x	f(a)	f(b)	f(x)	½b-a½
1	0	1	0.5	-1	1	-1.19	1
2	0.5	1	0.75	-1.19	1	-0.59	0.5
3	0.75	1	0.875	-0.59	1	0.05	0.25
4	0.75	0.875	0.8125	-0.59	0.05	-0.304	0.125
5	0.8125	0.875	0.8438	-0.304	0.05	-0.135	0.0625
6	0.8438	0.875	0.8594	-0.135	0.05	-0.043	0.03125

Можно принять в качестве ответа либо последний интервал

,

либо его половину, на концах которого функция имеет разные знаки:

.

Как видно, во втором случае достигнутая точность гораздо выше.

Оценка погрешности приближенного корня

В общем случае для оценки погрешности справедлива формула

Здесь x - приближенный, а x - точный корень уравнения. m₁ - наименьшее значение ½f '(x)½ на отрезке [a,b] .

Пример. Приближенным корнем уравнения f(x)=x⁴ - x - 1 = 0 является x = 1.22 . Оценить абсолютную погрешность этого корня.

Решение. Имеем f(1.22) = 2.2153 - 1.22 -1 = -0.0047 .Так как при x = 1.23 получаем f(1.23) = 2.288 - 1.23 -1 = 0.0588, то точный корень содержится в интервале [1.22 , 1.23] .

Производная f '(x) = 4x³ - 1 монотонно возрастает. Поэтому ее наименьшим значением в данном интервале является:

m₁ = 4 * 1.22³ - 1 = 4 * 1.816 - 1 = 6.263 .

Отсюда получают

Таким образом, 1.21925 £ x £ 1.22075 .

Для проверки можно вычислить f(1.21925) = -0.00936, f(1.22075)=0.000037 .