Графические методы решения уравнений

Точность такого решения невелика, однако с помощью графика можно разумно выбрать первое приближение, с которого начнется дальнейшее решение уравнения. Существуют два способа графического решения уравнений.

Первый способ. Все члены уравнения переносят в левую часть, т.е. уравнение представляют в виде f(x) = 0. После этого строят график функции y = f(x) , где f(x) - левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью Ox и являются корнями уравнения, т.к. в этих точках y = 0 .

Второй способ. Все члены уравнения разбивают на две группы, одну из них записывают в левой части уравнения, а другую в правой, т.е. представляют его в виде j(x) = g(x). После этого строят графики двух функций y = j(x) и y = g(x). Абсциссы точек пересечения графиков этих двух функций и служат корнями данного уравнения. Пусть точка пересечения графиков имеет абсциссу x_o, ординаты обоих графиков в этой точке равны между собой, т.е. j(x_о) = g(x_o). Из этого равенства следует, что x₀ - корень уравнения.

Отделение корней

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной точности.

Корень x уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не имеет других корней.

Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Графический метод отделения корней - в этом случае поступают также, как и при графическом методе решения уравнений.

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x³ - 3x + 2 = 0 имеет три корня: x₁ = -2 ; x₂ = x₃ = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f(x) имеет точку перегиба (например, уравнение x³ - 3x² + 3x - 1 = 0 имеет корень x₁ = x₂ = x₃ = 1).

Аналитический метод отделения корней. Для этого используют некоторые свойства функций.

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] существует по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a,b] содержится корень уравнения f(x) = 0, и этот корень единственный.

Теорема 3. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри отрезка [a,b] существует корень уравнения f(x) = 0 и притом единственный.

Если функция f(x) задана аналитически, то областью существования (областью определения) функции называется совокупность всех тех действительных значений аргумента, при которых аналитическое выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла и принимает только действительные значения.

Функция y = f(x) называется возрастающей, если с возрастанием аргумента значение функции увеличивается, и убывающей, если с возрастанием аргумента значение функции уменьшается.

Функция называется монотонной, если она в заданном промежутке либо только возрастает, либо только убывает.

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f '(x) сохраняет постоянный знак на интервале [a,b]. Тогда если во всех точках интервала [a,b] первая производная положительна, т.е. f '(x)>0, то функция f(x) в этом интервале возрастает. Если же во всех точках интервала [a,b] первая производная отрицательна, т.е. f '(x)<0, то функция в этом интервале убывает.

Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) имеет производную второго порядка, которая сохраняет постоянный знак на всем отрезке. Тогда если f ''(x)>0, то график функции является выпуклым вниз; если же f ''(x)<0, то график функции является выпуклым вверх.

Точки, в которых первая производная функции равна нулю, а также те, в которых она не существует (например, обращается в бесконечность), но функция сохраняет непрерывность, называются критическими.

Порядок действий для отделения корней аналитическим методом:

1) Найти f '(x) - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции f(x), полагая х равным:

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Пример. Отделить корни уравнения 2^х - 5х - 3 = 0.

Имеем f(x) = 2^x - 5x - 3 . Область определения функции f(x) - вся числовая ось.

Вычислим первую производную f '(x) = 2^xln(2) - 5 .

Приравниваем эту производную нулю:

2^xln(2) - 5 = 0 ; 2^xln(2) = 5 ; 2^x = 5/ln(2) ; xlg(2) = lg(5) - lg(ln(2)) .

Составляем таблицу знаков функции f(x), полагая х равным: а) критическим значениям (корням производной) или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного):

x	-¥	2	3	+¥
sign f(x)	+	-	-	+

Уравнение имеет два корня, так как происходят две перемены знака функции.

Можно составить новую таблицу с более мелкими интервалами:

x	-1	0	1	2	3	4	5
sign f(x)	+	-	-	-	-	-	+

Корни уравнения заключены в промежутках (-1,0) и (4,5).