- 15 -

Поиск корней уравнения

Методы решения нелинейных уравнений Алгебраические и трансцендентные уравнения

Всякое уравнение с одним неизвестным можно представить в виде

j(x) = g(x) ,

где j(x) и g(x) - данные функции, определенные на некотором числовом множестве Х, называемом областью допустимых значений уравнения. Уравнение с одним неизвестным можно записать в виде

f(x) = 0 .

Совокупность значений переменной х, при котором уравнение превращается в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение х из этой совокупности, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти множество всех корней этого уравнения. Оно может быть конечным или бесконечным.

В зависимости от того, какие функции входят в уравнение уравнения разделяются на два больших класса: алгебраические или трансцендентные.

Функция называется алгебраической, если для получения значения функции по данному значению х нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем.

Алгебраическая функция называется рациональной относительно переменной х, если над х не производится никаких других действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Если в рациональную функцию переменная х не входит в качестве делителя или не входит в выражение, являющееся делителем, то такая функция называется целой рациональной:

Целая рациональная функция определена на всей числовой оси.

Если в рациональной функции хотя бы один раз встречается деление на переменную х или переменная х входит в выражение, являющееся делителем, то такая функция называется дробно-рациональной:

где n - натуральное число или ноль; m - натуральное число; a₀, a₁, …, b₀, b₁,… ‑ любые действительные числа (a₀ ¹ 0, b₀ ¹ 0). Дробно-рациональная функция определена на всей числовой оси, за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в ноль.

Функция называется иррациональной, если для получения значения функции по данному значению х нужно выполнить, кроме четырех арифметических действий, еще и извлечение корня. При этом функция будет иррациональной лишь тогда, когда аргумент х стоит под знаком радикала. Например:

.

Другой большой класс функций - трансцендентные функции. К ним относятся все не алгебраические функции - показательная, логарифмическая, тригонометрические и т.д.

Если в запись уравнения входят только алгебраические функции, то уравнение называется алгебраическим.

Алгебраическое уравнение может быть приведено к виду:

.

Если это уравнение получено преобразованием уравнения, в которое входила дробно-рациональная или иррациональная функция, то необходимо учитывать, что эти функции определены не на всей числовой оси.

Например, уравнение

после освобождения от иррациональности примет вид

4x² - 16x -47 = 0.

Однако первоначальное уравнение определено не на всей числовой оси, а для х, принадлежащих отрезку [2,6].

Числа a₀, a₁, … , a_n называются коэффициентами уравнения.

Решение уравнения с одним неизвестным заключается в отыскании всех корней этого уравнения, т.е. тех значений х, которые обращают уравнение в тождество. Найти точные значения корней уравнения можно только в отдельных случаях.

При решении многих практических задач точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задача нахождения корней считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

Пусть x - корень уравнения, а х* - его приближение с точностью до e; это означает, что ½x-х*½ £ e. Если раскрыть это неравенство, то получим

x* - e £ x £ x* + e или a £ z £ b.

За приближенное значение корня x с точностью до e можно принять любое число, содержащееся между a и b.