Повышение точности результатов

При решении дифференциальных уравнений погрешность решения обусловлена отброшенными членами в разложении в ряд Тейлора. При использовании метода Эйлера, например, на каждом шаге эта погрешность имеет порядок O(h²), так как именно члены такого порядка отброшены:

Y(x_i+h) = Y(x_i) + Y'(x_i)*h + O(h²)

При нахождении решения в точке x_n , отстоящей на конечном расстоянии от точки x₀, погрешности суммируются. Суммарная погрешность, очевидно, равна n*O(h²). Если учесть, что h = (x_k - x₀)/n, то для суммарной погрешности получится окончательное выражение:

n*O(h²) = (x_k - x₀)*O(h²)/h » O(h).

Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Модифицированный и усовершенствованный методы Эйлера имеют второй порядок точности.

Метод Рунге-Кутта имеет четвертый порядок точности.

На практике для повышения точности численного решения без существенного увеличения машинного времени используется метод Рунге. Он состоит в том, что проводятся повторные расчеты по одной схеме с различными шагами. Уточненное решение в совпадающих при разных расчетах узлах строится с помощью проведенной серии расчетов.

Предположим, что проведены две серии расчетов по схеме порядка k соответственно с шагами h и h/2 .В результате расчетов получены множества значений сеточной функции y_h и y_h/2 .Тогда в соответствии с методом Рунге уточненное значение y_h^* сеточной функции в узлах сетки с шагом h вычисляется по формуле:

Порядок точности этого решения равен k+1, хотя используемая схема имеет порядок точности k. Таким образом, решение задачи на двух сетках позволяет на порядок повысить точность результатов.

Для схемы Эйлера первого порядка точности (k=1) формула Рунге принимает вид:

y_h^* = 2y_h/2 - y_h + O(h²) .

Аналогично можно записать формулу для уточнения решения, полученного по методу Рунге-Кутта при k = 4.