Усовершенствованный метод Эйлера

В этом методе для расчета очередного приближения производится усреднение тангенсов углов наклона касательных в двух соседних точках:

1) Через точку x_i,y_i проводится касательная до пересечения с прямой x_i+1 = x_i + h. с тангенсом угла наклона tg(a₁) = f(x_i , y_i) .

2) В полученной точке пересечения по методу Эйлера рассчитывается значение функции y_i+1 = y_i + h * y_i' и вычисляется новая производная tg(a₂) = f(x_i+1,y_i+1) = f(x_i+h,y_i+h*y_i') .

3) Далее осуществляется возврат в точку x_i,y_i и через нее выполняется шаг величиной h под углом наклона, тангенс которого есть среднее арифметическое двух предыдущих тангенсов:

tg(a) = [ tg(a₁) + tg(a₂) ]/2 = [ f(x_i,y_i) + f(x_i+h,y_i+h*y_i') ]/2

Таким образом окончательное расчетное соотношение усовершенствованного метода Эйлера-Коши имеет вид:

y_i+1 = y_i + h/2 * [ f(x_i,y_i) + f(x_i+h,y_i+h*y_i') ]/2

x_i+1 = x_i + h

Пример:

n	x	y	x1=x+h	y'=f(x,y)	y1=y+h*y'	f1=f(x,y)+f(x1,y1)	h*f1/2
0	0.000	1.000	1.000	-1.000	0.000	1.000	0.500
1	1.000	1.500	2.000	0.500	2.000	6.500	3.250
2	2.000	4.750	3.000	3.250	8.000	13.250	6.625
3	3.000	11.375	4.000	6.625	18.000	20.62	10.3135
4	4.000	21.688	5.000	10.313	32.000	28.313	14.156
5	5.000	35.844

Метод Рунге-Кутта

Алгоритм этого метода может быть представлен в виде:

y_i+1 = y_i + h/6 * (k₀ + 2k₁ + 2k₂ + k₃), i = 0,1, …

k₀ = f(x_i , y_i)

k₁ = f(x_i + h/2 , y_i + k₀*h/2)

k₂ = f(x_i + h/2 , y_i + k₁*h/2)

k₃ = f(x_i + h , y_i + k₂*h)

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения f(x,y) .Метод Рунге-Кутта требует большого объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге-Кутта.

Пример:

n	x	y	k0=f(xi,yi)	k1=f(xi+h/2,yi +k0*h/2)	k2=f(xi+h/2,yi+k1*h/2)	k3=f(xi+h,yi+k2*h)
0	0.000	1.000	-1.000	0.000	-0.500	1.500
1	1.000	0.917	1.083	3.042	2.063	5.021
2	2.000	3.635	4.365	6.682	5.523	8.841
3	3.000	9.905	8.095	10.548	9.321	12.774
4	4.000	20.006	11.994	14.497	13.245	16.748
5	5.000	34.044

Решение систем дифференциальных уравнений

Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений. Это легко показать для случая системы двух уравнений вида:

dY/dx = j(x, Y, Z)

dZ/dx = y(x, Y, Z)

Начальные условия заданы в виде: Y(x₀) = y₀ , Z(x₀) = z₀ .

Если использовался метод Эйлера, то можно записать:

Y_i+1 = Y_i + h * j(x_i, Y_i, Z_i)

Z_i+1 = Z_i + h * y(x_i, Y_i, Z_i)

x_i+1 = x_i + h

Если, например, использовался метод Рунге-Кутта, то получим:

y_i+1 = y_i + h/6 * (k₀ + 2k₁ + 2k₂ + k₃),

z_i+1 = z_i + h/6 * (m₀ + 2m₁ + 2m₂ + m₃), i = 0,1, …

k₀ = j(x_i , y_i , z_i) , m₀ = y(x_i , y_i, z_i)

k₁ = j(x_i + h/2 , y_i + k₀/2 , z_i + m₀*h/2) , m₁ = y(x_i + h/2 , y _i + k₀/2 , z_i + m₀*h/2)

k₂ = j(x_i + h/2 , y_i + k₁/2 , z_i + m₁*h/2) , m₂ = y(x_i + h/2 , y_i + k₁/2 , z_i + m₁*h/2)

k₃ = j(x_i + h , y_i + k₂ , z_i + m₂*h) , m₃ = y(x_i + h , y_i + k₂ , z_i + m₂*h)

x_i+1 = x_i + h

К решению систем уравнений сводятся также задачи Коши для уравнения высших порядков. Например, можно рассмотреть задачу Коши для уравнения второго порядка:

d²Y/dx² = f(x, Y, dY/dx),

Y(x₀) = y₀ , Y'(x₀) = z₀

Если ввести вторую неизвестную функцию Z(x) = Y'(x), то можно получить:

dZ/dx = f(x, Y, Z)

dY/dx = Z

Y(x₀) = y₀ , Z(x₀) = z₀

Все рассмотренные методы относятся к группе одношаговых методов, т.е. методов, в которых для получения решения в каждом новом расчетном узле достаточно иметь значение функции лишь в предыдущем узле. Это позволяет начать счет при i = 0 по известным начальным значениям.

Другой путь основан на том, что для вычисления значения y_i+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т.е. значения y_i-k+1, y_i-k+2, …, y_i .В этом случае получается k - шаговый метод.