Методы решения

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы - используют геометрические построения. В честности, одним из них является метод изоклин для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Он основан на геометрическом определении интегральных кривых по заранее построенному полю направлений, определенному изоклинами.

Аналитические методы изучаются в курсе дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородными, линейными и др.), а также для некоторых типов уравнения высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решение в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций. Например, в некоторых инженерных задачах удается представить решение в виде суммы двух составляющих, первое из которых определяет основное решение, а второе - малая добавка (возмущение), квадратом которой можно пренебречь. На этом основаны различные методы линеаризации. В приближенных методах также широко используется разложение решения в ряд по некоторому малому параметру, содержащемуся в данной задаче.

Численные методы решения в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение y' = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y₀ = y(x₀), точным решением которого является функция y = y(x), определенная на интервале [x₀ - x_k]. Этот интервал разбивают на n равных частей. Тогда величина шага интегрирования окажется равной

h = (x_k - x₀)/n .

Для расчета значения функции y₁ в точке x₁ достаточно через точку начальных условий (x₀,y₀) провести касательную к функции y(x) до пересечения с вертикальной прямой x = x₁. Тангенс угла наклона касательной есть производная функции в точке (x₀, y₀) и задается правой частью дифференциального уравнения, т.е.

tg(a) = f(x₀, y₀)

С другой стороны из геометрической интерпретации метода можно записать, что

Следовательно,

Отсюда

y₁ = y₀ + h * f(x₀ , y₀) , x₁ = x₀ + h

На следующем шаге, т.е. при вычислении y₂ снова определяется производная, но уже в точке (x₁, y₁), и из нее проводится касательная до пересечения с прямой x = x₂:

y₂ = y₁ + h * f(x₁ , y₁) , x₂ = x₁ + h

Аналогичные шаги выполняются на всем участке интегрирования.

Таким образом, интегрирование по методу Эйлера заключается в последовательном применении формул:

y_i+1 = y_i + h * f(x_i , y_i) , x_i+1 = x_i + h

где i = 0, 1, 2, … , n-1 .

В результате вычислений определяется некоторая ломаная линия. Как видно, с увеличением количества шагов эта ломаная линия все дальше отходит от истинного решения, что является основным недостатком метода. Причем чем больше кривизна интегральной кривой и шаг интегрирования, тем значительнее это отклонение. Вторым недостатком метода Эйлера является то, что с каждым шагом ошибка интегрирования увеличивается.