-
Обыкновенные дифференциальные уравнения Постановка задачи
В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащую одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y = y(x). Их можно записать в виде:
F(x, y, y', … , y(n)) = 0
где x - независимая переменная.
Наивысший порядок n входящей в это уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения. В частности, можно записать уравнения первого и второго порядков:
F(x, y, y') = 0 , F(x, y, y', y'') = 0 .
В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения удается выразить старшую производную в явном виде. Например
y' = f(x, y) , y'' = f(x, y, y')
Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например, y' - x2*y = sin(x) - линейное уравнение первого порядка.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = j(x), которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных С1, С2, … , Сn , т.е. общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = j(x, C1, C2, … , Cn)
Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.
Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:
y = j(x, C)
Если постоянная принимает определенное значение С = С0, то получится частное решение:
y = j(x, C0)
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка: Так как производная y' характеризует наклон касательной к интегральной кривой в данной точке, то при y' = k = const можно получить f(x,y) = k - уравнение линии постоянного наклона, называемой изоклиной. Меняя k получают семейство изоклин. Общее решение дифференциального уравнения описывает бесконечное семейство интегральных кривых с параметром C, а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства. Через каждую точку из области решения проходит одна интегральная кривая. Это утверждение следует из следующей теоремы:
Т е о р е м а К о ш и: Если правая часть f(x,y) уравнения y' = f(x,y) и ее частная производная f 'y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G изменения переменных x, y, то для всякой внутренней точки (x0, y0) этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение y = y0 при x = x0.
Для уравнения высших порядков используют следующее правило: для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т.е. каков порядок уравнения. Следовательно, для уравнения второго порядка нужно задать два дополнительных условия, благодаря которым можно найти значения двух произвольных постоянных.
В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. В качестве дополнительных условий могут задаваться значения искомой функции и ее производных при некоторых значениях независимой переменной, т.е. в некоторых точках.
Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка x = x0, в которой они задаются - начальной точкой.
Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этом граничными (или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x = a и x = b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения.
Примеры:
Задачи Коши:
dx/dt = x2 * cos(t), t > 0, x(0) = 1
y'' = y'/x + x2, , x > 1, y(1) = 2, y'(1) = 0
Краевые задачи:
y'' + 2y' - y = sin(x), 0 £ x £ 1, y(0) = 1, y(1) = 0
y''' = x + y*y', 1 £ x £ 3, y(1) = 0, y'(1) = 1, y'(3) = 2