Теорема (необходимое условие точки перегиба).

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке M(xo; f(xo)) и пусть функция y=f(x)

имеет в точке хо непрерывную вторую производную. Тогда

f''(x) в точке хо обращается в нуль, т.е.

f''(xo)=0.

Опр. Точки графика, для которых выполняется условие f ''(xo), наз.

критическими.

Терема (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки хо. Тогда, если в пределах указанной

окрестности f ''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки хо, то график y=f(x)

имеет перегиб в точке M(xo; f(xo)).

Замечание.

Теорема остается верной, если f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки хо, за исключением

самой точки хо, и существует касательная к

графику функции в точке М. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки хо, то график функции y=f(x) имеет

перегиб в точке М(xo; f(xo)).

Правило Лопиталя

Теорема (Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) при x x0 (или y y0) совместно стремятся к нулю или к бесконечности. Ели отношение их производных имеет предел, то отношение самих функций также имеет предел, равный пределу отношения

Другие виды неопределенностей

• Неопределенность вида -

Lim [f(x)- (x)] = [ - ]

преобразованием выражения f(x)- (x) сводится к случаю раскрытия неопределенности вида [0/0] или [ / ]

• Неопределенность вида 0·

Lim [f(x) · (x)] = [0· ]

преобразованием выражения f(x) · (x) сводится к случаю раскрытия неопределенности вида [0/0] или [ / ]

• Неопределенность вида

1 , 00 èëè 0

приводится к случаям раскрытия неопределенности вида [0/0] или [ / ]

Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при х и при х или вблизи точек разрыва 2-го рода, часто оказывается, что график функции сколь

угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые наз. асимптотами.

Существуют 3 вида асимптот:

вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Опр. Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат (в этом геометрический смысл асимптоты).

Вертикальная асимптота

у