Теорема (достаточное условие локального экстремума).
Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Если при
переходе через эту точку слева направо производная f '(x) меняет знак с “+” на “-” ( c “-” на “+”), то в точке хо функция f(x) имеет
локальный максимум (минимум). Если же f '(x) не меняет знак в -окрестности точки хо,
то данная функция не имеет локального экстремума в точке хо.
Замечание.
Теорема остается справедливой, если функция f(x) в самой точке хо не
дифференцируема, а только непрерывна.
Например, функция f(x) = |x| в точке х=0 непрерывна, но не дифференцируема.
Схема исследования функции y=f(x) на экстремум
1.Найти производную f '(x).
2.Найти критические точки функции, в которых производная f '(x)=0 или не существует.
3.Исследовать знак производной справа и слева от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции
Схема для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a, b]:
1.Найти производную f '(x).
2.Найти критические точки функции, в которых f '(x)=0 или не существует.
3.Найти значения функции в точках экстремума и на концах отрезка [a, b] и
выбрать из них наибольшее fнабольш. и наименьшее fнаименьш.
Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
Опр. 1. График функции y=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не
ниже (не выше) любой касательной к графику функции на интервале (a, b).
у |
|
|
|
|
|
вниз |
|
0 |
a |
b |
x |
у |
|
|
|
|
|
вверх |
|
0 |
a |
b |
x |
Теорема. Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и
f ''(x)>0 (f ''(x) <0) во всех точках (a, b), то график функции y=f(x) имеет на (a, b)
выпуклость, направленную вниз (вверх).
Опр. Точка М(xo; f(xo)) наз. точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки хо , в
пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки хо имеет разные
направления выпуклости.
у
М
0 |
a |
x |
0 |
b |
x |