Исследование поведения функции и

построение графиков

Теорема (признак монотонности функции).

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и f '(x) 0 (f '(x) 0) на (a,b) , то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a, b).

Замечание.

Точно также можно доказать, что если f ' (x)>0 (<0) на (a, b), то f(x) возрастает

(убывает) на (a, b). Это условие называется

достаточным условием возрастания

(убывания) функции f(x) на промежутке (a, b).

Необходимое условие более слабое: Если функция возрастает (убывает) на некотором интервале (a, b) то производная неотрицательна (неположительна) на этом интервале

Отыскание точек локального экстремума функции

Опр. Точка хо наз. точкой строгого

локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой

-окрестности точки хо выполняется неравенство f(x)<f(xo) (f(x)>f(xo)) при х хо.

Локальный максимум (max) и локальный

минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Теорема (необходимое условие локального экстремума).

Если функция f(x) имеет в точке хо

локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

f '(xо)=0.

Замечание. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f(x)<f(xo) (f(x)>f(xo)) может и не выполняться

для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки хо. Очевидно,

функция может иметь несколько локальных максимумов и локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Геометрический смысл теоремы

Если х1, х2, х3, х4, х5, х6 - точки локального

экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные || оси Ох.

Точки, в которых f '(x)=0, называют

стационарными, критическими или точками возможного экстремума.

у