Интегрирование рациональных дробей

Рациональная дробь– это отношение двух многочленов, где,–многочлены степенейnиmсоответственно. Если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе (n<m), то дробь называетсяправильной. В противном случае (nm) дробьнеправильная, она представляется в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшими дробями называются правильные дроби следующего вида:

1. 

2. , где m– натуральное число иm>1

3. , где , т.е. квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней

4. , где n– натуральное число,n>1 и квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Во все четырех случаях предполагается, что A,B,p,q,a– действительные числа.

Для интегрирования рациональной функции используется следующая последовательность шагов:

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателяQ(x)), разделим многочленP(x) наQ(x). Получим следующее выражение:, гдеM(x) – многочлен, а– правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на множители

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде:, где, т.е. квадратный трехчленне имеет действительных корней .

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i,B_i,С_iдолжно быть равно степени знаменателяQ(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменательQ(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенямиx. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентовA_i,B_i,С_i . Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собойметод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов:

1. 

2. 

3. 

Тогда . В первом интеграле числитель является производной знаменателя, поэтому.

При разложении простейших дробей возможны ситуации:

1. если числитель является производной знаменателя, то интеграл равен логарифму натуральному от знаменателя:

2. квадратный трехчлен в знаменателе можно разложить на линейные множители, а подынтегральную функцию на простые рациональные дроби:

Коэффициенты А и В находят методом неопределенных коэффициентов.

3. квадратный трехчлен в знаменателе нельзя разложить на линейные множители, тогда следует выделить полный квадрат и ввести замену:

После чего вводят новую переменную:

Эти интегралы можно вычислить: первый – подведением под знакдифференциала, второй –непосредственным интегрированием.

Задача 13. Найти неопределенный интеграл.

Решение.

Так как , то используем метод замены переменной. Задача 14. Найти неопределенный интеграл.

Решение.

Так как , то используем метод замены переменной.Задача 15. Найти неопределенный интеграл.

Решение.

Так как , то используем метод замены переменной.

Задача 16. Найти неопределенный интеграл.

Решение.

Так как , то разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей и применимметоднеопределенных коэффициентов:

Из последнего равенства найдем постоянные коэффициенты А₁,А₂,А₃. Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, приходим к равенству:

Теперь избавляемся от знаменателей, т.к. они одинаковы:

.

В левой части раскрываем скобки:

.

Сгруппируем по степеням x, вынесем общий множитель за скобки:

Составляем систему линейных уравнений из коэффициентов левой и правой части при соответствующих степенях x.

Решаем систему уравнений и получаем ответ:

Тогда .