Тема 2. Производная и дифференциал функции

Произво́дная (функции в точке) – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется какпределотношения приращения функции к приращению ееаргументапри стремлении приращения аргумента кнулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс нахождения производной называетсядифференци́рованием.

Обозначения: или .

При вычислении производных используют таблицу производных и правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Пусть u = u(x)иv = v(х)– дифференцируемые функции в точкех = х₀, тогда существуют производные от суммы, разности, произведения, частного этих функций в заданнойх₀.

Замечание: производная постоянной равна нулю С^ = 0

А. Б. В.

Г. Д.

Таблица производных основных элементарных функций

№	y = f(х)	y = f(x)		№	y = f(х)	y = f(x)
1				10
2				11
3				12
4				13
5				14
6				15
7				16
8				17
9

Задача 1.Найти производную.

Решение.

.

В данном решении используем правило дифференцирования Ви формулу 4.

Задача 2. Найти производную функции.

Решение.

В данном решении используем правила дифференцирования А,Ви формулы 3, 7 и 11.

Задача 3. Найти производную функции.

Решение.

В данном решении используем правила дифференцирования Б,Ги формулы 2, 12, 14.

В задаче 3 видно, что производная функции может получиться достаточно громоздкой и не всегда целесообразно упрощать полученный результат.

Производная сложной функции

Пусть у = f(u),аu = (х),тогдау = f((х))– сложная функция, ее производная находится по правилу дифференцирования сложной функции. Если каждая из функцийу = f(u)иu = (х)дифференцируема по своему аргументу, то

Правило дифференцирования сложной функции: Е.

Обратите внимание на запись . Здесь у нас две функциии, причем функция, образно говоря, вложена в функцию. Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Задача 4. Найти производную функции

Решение:

Под косинусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблицепроизводных основных элементарных функцийне получится.

В данном примере функция – это сложная функция, причем многочленявляется внутренней функцией (вложением), а– внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобыразобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. После этого необходимо применить правило дифференцирования сложной функции (правилоЕ).

Начинаем решать:

Сначаланаходим производную внешней функции(косинуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций правило №11 и замечаем, что .Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что .

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Таблица производных основных сложных функций

№	y = f(u), u = (х)	у = f(u)u		№	y = f(u), u = (х)	у = f(u)u