Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для переработки. Тема 1. Функции одной переменной. Предел функции

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов нахождения пределов различных видов.

Определение 1.Число А называется пределом функции пристремящимся к бесконечности(), если для любого, сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от;), что для всехтаких, что, верно неравенство:.

Этот предел обозначается .

Определение 2.Число А называется пределом функции пристремящимся кили в точке (), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от;), что для всех, не равных() и удовлетворяющих условию, выполняется неравенство:.

Этот предел обозначается .

Рассмотрим предел:, он состоит из трех частей:

1. значка предела _;

2. записи под значком предела: . Запись читается «икс стремится к семи». В практических заданиях на месте семи может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ();

3. функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к семи».

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить число семь в функцию, стоящую под знаком предела: , поскольку в точке, функция, стоящая под знаком предела непрерывна и предел равен значению функции в этой точке (так как это значение существует).

Итак, первое правило: когда дан предел, сначала просто вместо подставить число, к которомустремится и найти значение функции при этом.Если получилось число, то предел будет равен полученному числу. Если получились выражения (неопределенности) типаили, то необходимо произвести тождественные преобразования выражения, стоящего под знаком предела, чтобы избавиться от этих неопределенностей.

При этом можно использовать основные правила вычисления пределов. Пусть существуют . Тогда

1. .

2. .

3. 

4. , где с– постоянный множитель,с =const.

5. , ,

6. 

7. первый замечательный предел:

Следствия из первого замечательного предела:

, где α=const.

8. второй замечательный предел: и

е 2,7182… или е2,7

9. пределы бесконечно больших и малых функций

Если .

10. эквивалентные бесконечно малые функции

Если , тогда.

sinx~x tgx~x acrsinx~x arctgx ~ x 1-cosx ~

~ x ~ x ln(1+ x) ~ ~ mx

Решение типовых примеров.

Задача 1. Вычислить предел: .

При подстановке в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, получаем:sin3x~ 3x, tg7x~ 7x,~ 3x². Тогда

Задача 2. Вычислить предел: .

При подстановке в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида. Используя эквивалентные бесконечно малые функции, получаем:sin(x-1) ~ (x-1), так как. Тогда

Задача 3. Вычислить предел: .

При подстановке в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида. Значит, функция не определена в точке .Произведем тождественные преобразованиявыражения, стоящего под знаком предела, не принимая во внимание его поведения в предельной точке.

В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Разложим квадратные трехчлены, входящие в числитель и знаменатель, на линейные множители по формуле:, где х₁и х₂– корни квадратного уравнения.

Разложим трехчлен на множители. Для этого:

1. Решим уравнение

, ,

;

;

2. Воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители:

Аналогично разложим трехчлен, стоящий в знаменателе на множители:

Преобразуем данный предел:

Ответ:

Задача 4. Вычислить предел

1. 

2. Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель по формуле разности кубов:.

, а в числителе вынесем общий множитель.

3. 

Ответ:_.

Задача 5.Вычислить предел

1. 

2. _{Для раскрытия неопределенности вида в данном примере воспользуемся первым замечательным пределом и одним из его следствий:,}

3. 

4. Заменим предел произведения функций произведением пределов этих функций и вынесем постоянный множитель:

_{Ответ: .}

Задача 6. Вычислить предел .

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции: она растет. Поэтому .

Запомните следующие пределы:

1. . 2. . 3..

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения.

Рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Задача 7. Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается в числителе? Бесконечность. А что получается в знаменателе? Тоже бесконечность. Таким образом, имеем неопределенность вида . Учитывая, что поведение числителя и знаменателя приопределяется членами с наибольшими показателями степеней (в числителе ив знаменателе), то для решения подобных примеров надо разделить числитель и знаменатель на старшую степень числителя и знаменателя, в нашем случае. Получим:

т.к.

_Ответ: