ЛЕКЦИЯ 11

~(2)

1

~(2)

1

1

1 1.

x1

1

0 1, x2

2

2

2

Так как точка

~(2)

попадает в область X, то

x

(2)

~(2)

. Так

x

x

как f x(2) f x(1) ,

то проверяем критерий останова:

x(2) x(1)

0.5 0.1.

Критерий

останова

не

выполняется,

Итерация 3. В соответствии с выражением

(6)

определяем

(3)

~(3)

(2)

1

(2)

x

X

x

X x

f

x

.

2

~(3)

1

~(3)

1

1 1.5.

x1

1

0 1, x2

1

2

2

~(3)

выходит за пределы области X.

Точка x

Так как множество X - шар, то можно указать явный вид

проекции точки на множество.

Можно показать, что если

X x R n :

x x0

r -шар, то a Rn :

a

x0

a x0

r .

X

x x0

~(3)

0

~(3)

(3)

~(3)

x

x

x

X x

0

2

2 .

~(3)

0

~(3)

2

~(3)

2

x

x1

x2

1

1.5

x(3)

2 0.7845, x(3)

2 1.1767.

1

3.25

2

3.25

~(4)

~(4)

1.6767.

x1

1, x2

~(4)

(1.0,1.6767) выходит за пределы области X.

Точка x

~(4)

(4)

~(4)

x

x

X x

2 .

~(4)

2

~(4)2

x1

x2

x(4)

1

0.7245, x(4)

1.6767

2

2 1.2148.

1

1.952

2

1.952

f x x2

x2

2x

1

8x

2

min,

x X,

(13)

1

2

X : x1 2x2 12, x1 x2 8, x 0.

(14)

Решение. Задачу

(13)-

(14)

решим методом

проекции градиента, используя соотношение

(6).

Выберем начальное приближение x(0)

0,0 .

Пусть шаг k , k 0,1,2,... в выражении

(6) k равен

1

.

2

Критерий

останова

выберем

следующий:

x(k 1) x(k)

, k 0,1,2,..., где 0.01.

~(2)

1

~(2)

1

8 4.

x1

0

2 1, x2

0

2

2

~(2)

выходит за пределы области X.

Точка x

Следовательно, чтобы найти x

(2)

~(2)

,

необходимо

X x

решить задачу вида (2), то есть:

x

1 2

x

2

4 2

min, x X.

(16)

1

Решением задачи

(16)

является

точка с

координатами: x

0; x

2

4. Следовательно,

x(2)

0;4 .

1

2.

3x

2x

1

x2

x2

x

x

min ,

1

2

2

2

1

2

1

x X

3.

8x

2

4x

2

2x

2

4x

1

x

2

min ,

1

2

x X

Ответ: x* 1.5,3 .

4. 4x

1

2x

2

x2

x2

5 min ,

1

2

x X

Ответ: x* 2,1 .

5.

x2

2x

2

4x

1

2x

2

min ,

1

2

x X

6.

x2

2x

2

12x

1

min ,

2

1

x X

7.

4x

1

8x

2

2x

2

2x

2

min ,

1

2

x X

8. 6x

1

32x

2

x2

4x

2

min ,

1

2

x X

10.

1

1

2x1x2

min ,

x1

2x

2

x X

1. x2

2x

1

x

2

min ,

1

x X

X : x2

x2

4x 6x

2

7 0

,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 1.178,5.307 .

2. 2x

1

3x

2

x2

3x2

min ,

1

2

x X

X : x2

x2

2x 2x

2

2 0

,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 1,3 .

3. 4x

1

8x

2

x2

2x

2

min ,

1

2

x X

X : x

2

x

2

4x 2x

2

3 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 1.4718,2.3119 .

4. x2

x

1

2x

2

min ,

1

x X

X : x2

x2

4x 4x

2

4 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 1.044,3.7568 .

5. x2

2x

4x

2

min ,

1

1

x X

X : x

2

x

2

8x 8x

2

28 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 2.703,5.5227 .

6. x2

2x

2

3x2

min ,

2

1

x X

X : x

2

x

2

2x 4x

2

0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 3.1656,1.443 .

7. 6x

1

2x2 x

x

2

min ,

1

1

x X

X : x2

x2

4x 4x

2

4 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 2.377,3.964 .

8. x2

x

2

x x

2

3x

1 min ,

1

2

1

1

x X

X : x

2

x

2

2x 8x

2

15 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

9. x

1

6x

2

x2

3x

2

3x

1

x

2

min ,

1

2

x X

X : x2

x

2

4x 8x

2

18 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* (2.828,2.8535) .

10. x 2x

2

x

2

min ,

1

2

x X

X : x2

x2

2x 6x

2

9 0,

1

2

1

x1 0, x2

0.

Ответ: x* 5.8335,2.0909 .

III. Решить методом проекции градиента следующие

задачи:

1. x2 x2

x x

2

3x

1

1 min ,

1

2

1

x X

X : x1 x2

4,

2.

1

x2

2x

2

x

x

3x

2 min ,

2

2

2

8

1

1

x X