If логічний вираз then оператор,

де логічний вираз – висловлювання, побудоване на основі базових логічних операцій над нечіткими величинами; оператор – результуюче рішення. Правила можуть визначати відношення відповідності (is) між вхідними лінгвістичними змінними X та їх нечіткими термами . Викоiристання нечітких умовних правил є природнім для подання знань експертами і спрощує їх машинне опрацювання.

Загалом до правила можуть входити усі можливі комбінації лінгвістичних термів для усіх вхідних змінних, об’єднаних логічними операціями.

Слід зазначити, що за допомогою перетворень нечітких множин будь-яке правило, що містить у лівій частині як кон’юнкції, так і диз'юнкції, можна перетворити на систему правил, у лівій частині яких будуть або тільки кон’юнкції, або тільки диз'юнкції. Для визначення нечіткої кон’юнкції можна використати знаходження мінімуму, а для нечіткої диз'юнкції – знаходження максимуму двох функцій належності. Не зменшуючи загальності, будемо розглядати правила, побудовані на основі кон’юнкції.

Розрізняють дві моделі логічного виведення: Мамдані (Mamdani) та Такагі-Суджено (Takagi-Sugeno).

Модель Мамдані оперує лише з лінгвістичними змінними та нечіткими множинами і перетворює нечіткі входи на нечіткі виходи. Наприклад, для моделі Мамдані правила мають вигляд:

де A_i,k ∈ X_i– нечіткі множини для вхідних та B_k ∈ B – нечіткі множини для вихідної лінгвістичної змінної, які використовуються в k -му правилі (k =1..N). Операція and інтерпретується як t-норма нечітких множин.

Модель Такагі–Суджено оперує з чіткими величинами, лінгвістичними змінними та нечіткими множинами і перетворює чіткі входи у чіткі виходи. Правила моделі Такагі–Суджено можуть мати вигляд:

,

де o_k – завершальне значення k -го правила, вихідний сигнал або керуюча дія.

Для повноти бази нечітких правил повинні виконуватися такі умови:

1) для будь-якого терму вхідної змінної існує хоча б одне правило, в якому цей терм використовується у лівій частині правила;

2) існує хоча б одне правило для кожного лінгвістичного терму вихідної змінної.

Для багатовходових систем застосовується механізм логічного виведення, характерною рисою якого є використання рівнів істинності передумов правил.

Для кожного правила R_k , k =1..N визначається рівень його істинності α_k стосовно входів. Рівень істинності є дійсним числом, яке характеризує ступінь відповідності нечітких входів системи A_i′, i =1..n заданим у правилах нечітким множинам A_i,j (j = 1.. m_i):

,

де X_i – простір визначення входів A_i′, i =1..n; операція ∧ – нечітка кон’юнкція.

При використанні вхідних синглетонів механізм логічних виведень спрощується, оскільки ступінь істинності правил може бути визначений на основі фазифікованих входів:

.

У цьому випадку обчислення рівня істинності k-го правила буде формуватися за формулою:

,

Кожне із правил є нечіткою імплікацією, яка визначає вихідне значення залежно від рівня істинності лівої частини правила. Ступінь впевненості виведення задається функцією належності відповідного вихідного терму B_k. Використовуючи один зі способів побудови нечіткої імплікації, одержимо нові нечіткі змінні, або відповідні ступені впевненості в значенні виходів при застосуванні відповідного правила до заданих входів. Так, на основі визначення нечіткої імплікації за Мамдані, як мінімуму лівої й правої частин правила, маємо:

,

де B_k′ – зрізи вихідних нечітких множин на рівні α_k.

Завершальним кроком нечіткого логічного виведення є агрегування виходів правил. Один з основних способів акумуляції – нечітка диз’юнкція вихідних множин, або, інакше, знаходження максимуму отриманих функцій належності. Як результат, отримаємо значення агрегованого виходу:

При нечіткому логічному виведенні паралельно опрацьовують велику кількість правил з подальшим їх агрегуванням у завершальне рішення. Правила можуть будуватися на основі досвіду та знань експертів, створенням моделі дій оператора, методом навчання. При проектуванні пристроїв з нечіткою логікою важливо забезпечити можливості їх пристосування до змін навколишнього середовища методом навчання бази правил за експериментальними даними. Навчання полягає в адаптивному підборі параметрів нечітких множин та автоматичному генеруванні правил нечіткого логічного виведення. Для цього використовуються алгоритми оптимізації та інтелектуального опрацювання даних – градієнтний, генетичний, штучних нейронних мереж, байесових мереж та ін.

Дефазифікація виходів

Після визначення індивідуальних виходів правил здійнюється дефазифікація агрегованого виходу. В загальному етап дефазифікації є необов’язковим і використовується за необхідності перетворення виведених нечітких лінгвістичних змінних до точного значення.

Існує декілька методів дефазифікації – метод среднього центру, перший максимум, середній максимум, висотна дефазифікація. Наприклад, метод середнього центру, або центроїдний метод, визначається центром ваги вихідної нечіткої множини:

.

Для моделі Такагі–Суджено вихідні множини правил задаються у вигляді сінглетонів з функціями належності

,

де o_k – вихідне значення k -го правила.

Тоді результуюче чітке вихідне значення системи прийняття рішень обчислюється зважуванням значень активованих правил:

.

У системах керування отримане чітке вихідне значення використовується у контурі зворотного зв’язку для вироблення керуючих дій.

Приклад нечіткого виведення

Задача 1.

Нехай база нечітких правил прийняття рішень містить визначені експертами залежності шансу працевлаштування молодого спеціаліста від його рівня підготовки (рейтингу) та попиту на спеціалістів такого профілю на ринку праці. Введемо лінгвістичні змінні: рейтинг = (високий, низький); попит = (високий, низький); шанс = (високий, середній, низький).

Наведемо декілька із можливих правил:

R₁: якщо попит є високим і рейтинг є високим, то шанс є високим;

R₂: якщо попит є низьким і рейтинг є високим, то шанс є середнім;

R₃: якщо попит є високим і рейтинг є низьким, то шанс є середнім;

Допустимо, що лінгвістичні терми входів описуються такими нечіткими множинами:

високий попит = {100/0.2; 200/0.4; 300/0.8; 400/1};

низький попит = {100/1; 200/0.8; 300/0.6; 400/0.4};

високий рейтинг = {50/0.1; 71/0.8; 88/0.9; 100/1};

низький рейтинг = {50/1; 71/0.3; 88/0.2; 100/0.1}.

Терми виходу описуються такими множинами:

високий шанс = {0/0.1; 0.5/0.5; 1/1};

середній шанс = {0/0.5; 0.5/1; 1/0.5}.

Необхідно визначити шанс працевлаштування при незначному попиті та середньому рейтингу.

Звернемо увагу на те, що вхідні дані не визначають термів незначний попит та середній рейтинг. Вихідну реакцію на ці нечіткі значення необхідно отримати в процесі логічного виведення на основі бази правил.

Нехай на вхід системи надходять нечіткі множини попиту A1′ = {100/0.4; 200/0.3; 300/0.2; 400/0.1} та рейтингу A2′ = {50/0.1; 71/0.8; 88/0.8; 100/0.1}.

Операції визначення мінімуму та максимуму позначимо у вигляді ∧ та ∨ відповідно.

Для обчислення виходу виконаємо етапи нечіткого логічного виведення:

1. Обчислення рівнів істинності правил.

α1 = min[max(0.4^0.2, 0.3^0.4, 0.2^0.8, 0.1^1), max(0.1^0.1, 0.8^0.8, 0.8^0.9, 0.1^1)] = min[max(0.2, 0.3, 0.2, 0.1), max(0.1, 0.8, 0.8, 0.1)] = min[0.3, 0.8] = 0.3

α2 = min[max(0.4^1, 0.3^0.8, 0.2^0.6, 0.1^0.4), max(0.1^0.1, 0.8^0.8, 0.8^0.9, 0.1^1)] = min[max(0.4, 0.3, 0.2, 0.1), max(0.1, 0.8, 0.8, 0.1)] = min[0.4, 0.8] = 0.4

α3 = min[max(0.4^0.2, 0.3^0.4, 0.2^0.8, 0.1^1), max(0.1^1, 0.8^0.3, 0.8^0.2, 0.1^0.1)] = min[max(0.2, 0.3, 0.2, 0.1), max(0.1, 0.3, 0.2, 0.1)] = min[0.3, 0.3] = 0.3

2. Обчислення виходів правил.

B₁′ = {0/min(0.3, 0.1), 0.5/min(0.3, 0.5), 1/min(0.3, 1)} = {0/0.1, 0.5/0.3, 1/0.3}

B₂′ = {0/min(0.4, 0.5), 0.5/min(0.4, 1), 1/min(0.4, 0.5)} = {0/0.4, 0.5/0.4, 1/0.4}

B₃′ = {0/min(0.3, 0.5), 0.5/min(0.3, 1), 1/min(0.3, 0.5)} = {0/0.3, 0.5/0.3, 1/0.3}

3. Агрегування виходів.

B′=B₁′∨B₂′∨B₃′ = {0/max(0.1, 0.4, 0.3), 0.5/max(0.3, 0.4, 0.3), 1/max(0.3, 0.4, 0.3)} = {0/0.4, 0.5/ 0.4, 1/0.4}

4. Дефазифікація виходу.

Отже, для заданих нечітких множин, при незначному попиті на спеціалістів та середньому кваліфікаційному рейтингу шанс працевлаштуватися становить 50 %.

Задача 2.

Задача розподілу інвестиційних ресурсів.

Є п’ять альтернативних проектів P = {Pi}, i =1,5, та загальне бюджетне обмеження B , яке складає 50 тис. грн. Експертний комітет складається з чотирьох експертів D = {Dt}, t =1,4 . Необхідно у найкращий спосіб розподілити наявні бюджетні ресурси між запропонованими проектами.

Кожний експерт Dt для кожного проекту Pi надає оцінки Sict за трьома критеріями C = { Cc}, c =1,3:

C1 – прибутковість,

C2– рівень виконавців проекту

C3 – соціальна важливість проекту. Експерти D для критеріїв оцінювання C задають індивідуальні вагові коефіцієнти Wct.

Нормовані значення вагових коефіцієнтів критеріїв та критеріальні експертні оцінки проектів наведені в табл. 5.1.

Для одержання узагальнених оцінок проекту від кожного експерта, критеріальні оцінки кожного експерта агрегуємо за допомогою системи НЛВ із зваженою істинністю. Система НЛВ має 3 входи, що відповідають критеріям оцінювання та одне вихідне значення – ступінь привабливості проекту.

Таблиця 5.1 – Критеріальні експертні оцінки проектів

Лінгвістичні змінні, що відповідають вхідним значенням, мають по три

значення:

інтенсивність показника проекту = {мала, середня, велика}, та графічно показані на рис. 5.8.

Рис. 5.8 – Лінгвістична змінна входу системи НЛВ

Лінгвістична змінна виходу системи НЛВ також має три

градації:

ступінь привабливості = {низька, середня, висока}, показана на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Лінгвістична змінна виходу системи НЛВ

Для відповідних нечітких множин входу та виходу застосовуються трикутні функції належності. База правил системи НЛВ наведена в табл. 5.2.

Таблиця 5.2 – База правил прикладу

Ступінь виконання кожного правила визначається за формулою:

,

а процедура імплікації за Мамдані .

Розглянемо функціонування системи НЛВ із зваженою істинністю для одержання агрегованих значень оцінок експерта D1для проекту P1. У системі НЛВ для значень критеріальних оцінок з табл.1 експерта D1 для проекту P1 спрацювали правила 2,3,5,6,11,12,14,15. В табл. 5.3 наведена процедура розрахунку значень істинності передумов та ступеню виконання для правил 2, 12,14.

Таблиця 5.3 – Приклад виконання правил 2, 12,14

Значення агрегованих за допомогою системи НЛВ оцінок всіх експертів для всіх проектів наведені в табл. 5.4.

Таблиця 5.4 – Агреговані за допомогою системи НЛВ експертні оцінки проектів

Тепер для подальшого розв’язку задачі знайдемо остаточну узагальнену оцінку кожного проекту – ступінь його привабливості для розподілу інвестиційних ресурсів. Рівень експертів будемо вважати однаковим, і розрахуємо ступені привабливості як середні значення агрегованих експертних оцінок проектів за формулою:

.

Результати наведені в табл. 5.5.

Таблиця 5.5 – Остаточні оцінки проектів

Таблиця 5.6 – Значення обсягів інвестування проектів

Відповідно до знайдених нормованих значень ступенів привабливості

проектів з табл. 5 на пропорційній основі визначимо значення інвестування кожного проекту виходячи з наявного бюджету B , що складає 50 тис. грн. (див.табл. 5.6).

5.5 Зміст звіту

1. Нехай база нечітких правил прийняття рішень містить визначені експертами залежності можливості залучення туристів в м. Севастополь від ціни путівки, рівня наданого сервісу та пори року. Вхідні данні встановлюються експертним шляхом.

2. Задача отримання максимальної ефективності від проведення рекламної компанії в залежності від виду засобів масової інформації, де буде розміщатись рекламна продукція.

Рекламу можна розміщувати в наступних засобах масової інформації: телебачення, газети, радіо, Інтернет. Загальний бюджет на рекламу товару становить 125 тис. грн. Створіть експертний комітет не менше ніж з трьох експертів з різним досвідом та різною обізнаністю з даної проблеми. Необхідно у найкращий спосіб розподілити наявні бюджетні ресурси на рекламу між запропонованими ЗМІ. Підтвердіть отримані висновки графічно та аналітично, застосовуючи алгоритми отримання підсумкового результату нечіткого виводу по Ларсену, за Мамдані та Такагі-Суджено.

5.6 Контрольні питання і завдання

1. Що таке СНЛ?

2. Що таке лінгвістичні змінні та як вони задаються?

3. Що називається фазифікацією?

4. Основна структура та функції СНЛ?

5. Які функції виконує блок фазифікації?

6. Що таке нечітка база правил і як вона формується?

7. Які функції виконує блок фазифікації?

8. Що таке терми і як формується множина термів?

9. Що називається потужністю множини термів?

10. Функції блоку виводу.

11. Алгоритм отримання підсумкового результату нечіткого виводу по Ларсену.

12. Алгоритм отримання підсумкового результату нечіткого виводу за Мамдані.

13. Алгоритм отримання підсумкового результату нечіткого виводу Такагі-Суджено.

ПЕРЕЛИК ПОСИЛАНЬ

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерное приложение – М. «Наука» 1991.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология – М. «Наука» 1980.

3. Таха Ч. Введение в исследование операций. Том 1,2.-М.»Мир» 1985.

4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств . – М. Радио и связь. 1982.

5. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Стохастичні процеси та моделі в економіці, соціології, екології. – К. 2002

6. Fuzzy Technology: основы моделирования и решения экспеертно-аналитических задач. – К.: Эльга, Ника-Центр, 2003. – 296 с.

7. Fuzzy Technology: модальность и принятие решения в маркетинговых коммуникациях. – К: Ника-Центр, Эльга, 2002. – 224 с.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для ВУЗов / Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 391 с.

9. Дубров A.M. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие / Под ред. Б.А. Лагоши. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 176 с.

10. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебно-методическое пособие / В.А. Половников, И.В. Орлова, А.Н. Гармаш, В.В. Федосеев. -М.: Финстатинформ, 1997.

11. С.Д.Штовба "Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику"

12. Бережная Е.В. Бережной В,И. Математические методы моделирования экономическиъ систем: Учеб пособие . 2-е изд., перераб и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006.– 432 с.

13. Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование в финансово-экономической области – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 224 с.

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до лабораторних робіт з дисципліни

"Прикладні задачі моделювання економічних процесів"

для студентів усіх форм навчання

спеціальності "Економічна кібернетика"

Упорядники Кирій Валентина Василівна

Фастова Наталя Іванівна

Відповідальний випусковий В.О. Тімофєєв

Редактор

Комп’ютерна верстка

План 20 , поз.

Підпис. до друку Формат 60 84 1\16. Спосіб друку -

Умов. друк. лист . Облік. вид. лист . Тираж прим.

Зам. № Ціна договірна

ХНУРЕ. Україна. 61166 Харків, просп. Леніна, 14

Віддруковано в навчально-науковому

видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ