Лабы / 8

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ Московский технический университет связи и информатики

Кафедра вычислительной математики и программирования

Численные методы и оптимизация Лабораторная работа №8 по теме: ”Метод наименьших квадратов”

Выполнил: Востропятов Н. А.

Группа: УИ0301

Вариант: №9

Проверил: Митихин В. Г.

1. Условие.

Функция задана таблично.

xi	-1	1	3	5	7	9
yi	-0.356	1.376	1.03	-0.316	-1.296	-0.91

2. Проведём исследование задания.

При интерполировании используются значения рассматриваемой функции в известных точках. В случае обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений или вычисленных, нужно иметь в виду ошибки этих данных. Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью или число узловых точек велико, то в таком случае аппроксимирующую функцию можно построить с помощью метода наименьших квадратов.

Наиболее распространен способ выбора функции в виде:

- базисные функции,

- вектор коэффициентов, определяемых из условия минимизации.

- количество узловых точек.

Если погрешность исходных данных то количество базисных функций выбирается так, чтобы .

Условие минимума функции приводит к системе линейных уравнений относительно параметров .

Система называется системой нормальных уравнений, ее матрица – матрицей Грамма. Элементы матрицы Грамма являются скалярными произведениями базисных функций

.

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции, таких, как свойство симметрии, периодичности и т.п.

Доказано, что если функции линейно независимы на , то единственное решение соответствует наименьшему квадратичному отклонению.

Один из возможных базисов – степенной:

.

Степень аппроксимирующего полинома .

В случае степенного базиса матрица Грама

столбец правых частей системы нормальных уравнений ,

Рассмотрим частные случаи решения.

1. Пусть требуется аппроксимировать экспериментальные данные линейной функцией (, - количество узловых точек).

.

Матрица Грама

Столбец правых частей системы нормальных уравнений

Система нормальных уравнений имеет вид

или

Решение системы даст искомую линейную зависимость

Существует простое решение системы, введем обозначения:

- средние значения табличных данных.

Тогда, учитывая, что , получим

.

В случае применения метода наименьших квадратов для определения коэффициентов эмпирической формулы, имеющей вид алгебраического многочлена второй степени

получаем систему уравнений

Качество аппроксимации можно оценить, подсчитав среднее квадратическое отклонение:

• для линейной аппроксимации

• для квадратичной аппроксимации

3. Составим и решим системы нормальных уравнений. Вычисления запишем в таблицу.

i	xi	yi	xiyi	xi2	xi3	xi4	xi2yi
1	-1	-0.356	0.356	1	-1	1	-0.356
2	1	1.376	1.376	1	1	1	1.376
3	3	1.030	3.09	9	27	81	9.27
4	5	-0.316	-1.58	25	125	625	-7.9
5	7	-1.296	-9.072	49	343	2401	-63.504
6	9	-0.910	-8.19	81	729	6561	-73.71
	24	-0.472	-14.02	166	1224	9670	-134.824

Для линейной функции система нормальных уравнений

Получаем

.

Система нормальных уравнений для квадратичной функции

имеет вид:

Решая систему, получим

.

Таблица значений аппроксимирующей функции в узловых точках

xi	-1	1	3	5	7	9
yi	-0.356	1.376	1.030	-1.416	-1.296	-0.910
φ1(xi)	0.88	0.456	0.032	-0.316	-0.816	-1.24
φ2(xi)	1.636	0.34	-0.524	-0.956	-0.956	-0.524
yi- φ1(xi)	0.376	0.454	-0.468	-1.024	-0.214	0.884
yi- φ2(xi)	-0.38	0.57	0.088	-0.46	-0.074	0.168

Погрешность линейной аппроксимации S₁=0.712.

Погрешность квадратичной аппроксимации S₂= 0.601.

Приведенные расчеты показали, что для рассматриваемой функции предпочтительнее квадратичная аппроксимация, так как .

4. Построим графики функций φ₁(x) и φ₂(x).

5. Решение задачи с помощью математического пакета MathCAD 12.

7