РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ

Методы решения задач в линейных стационарных системах с сосредоточенными параметрами

Временной метод (метод дифференциально-интегральных уравнений)

Импульсная характеристика

Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором Т. Для простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы h(t) называется функция являющаяся откликом системы на входной сигнал Это означает, что функция h(t) удовлетворяет уравнению

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на производную величину:

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации.

С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.

Интеграл Дюамеля

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Поскольку входной сигнал всегда допускает представление вида

то отвечающая ему выходная реакция будет определяться интегральным соотношением

Разбиение сигнала на короткие импульсы и свертка сигнала с импульсной характеристикой

Интеграл Дюамеля

Интеграл есть предельное значение суммы, поэтому линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла.

Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени t, но не от переменной интегрирования . Поэтому

или окончательно

Первая форма

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Выходной сигнал линейной

стационарной системы представляет собой свертку двух функций — входного сигнала и импульсной характеристики системы. Она может быть записана также в виде

Интеграл Дюамеля

Вторая форма

Итак, если импульсная характеристика h(t) известна, то дальнейшие этапы решения сводятся к полностью формализованным операциям.

В математике импульсную характеристику называют функцией Грина рассматриваемого оператора Т.

Импульсную характеристику следует рассматривать, строго говоря, как обобщенную функцию.

Пример 1

Некоторая линейная стационарная система, внутреннее устройство которой несущественно, имеет импульсную характеристику, представляющую собой прямоугольный видеоимпульс длительностью Т. Импульс возникает при

t = 0 и обладает амплитудой Ао:

Определить выходную реакцию данной системы при подаче на вход ступенчатого сигнала

Применяя формулу интеграла Дюамеля, следует обратить внимание на то, что выходной сигнал будет выглядеть по-разному в зависимости от того, превышает или нет текущее значение t длительность импульсной характеристики. При 0 < t < Т имеем