6.7.2 Определение корней трансцендентных уравнений
Уравнение F(x)=0 называется трансцендентным, если хотя бы одна из функций в нем не является алгебраической.
Пример
(6.4)
Регулярных аналитических методов решения трансцендентных уравнений не существует. В каждом конкретном случае ищется свой индивидуальный прием.
Общим является только графический метод, состоящий в построении графика функций F(x).
Точки пересечения построенного графика с осью абсцисс и есть искомые действительные корни уравнения.
В среде MathCAD возможны два способа нахождения корней уравнения (6.4)
с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;
с помощью встроенной функции root в подменю f(x) меню «Вставка» согласно правилу 2.
Рассмотрим применение обоих методов на примере нахождения корней уравнения (6.4).
Поскольку неизвестно решение (значения х, при которых F(x)=0), то строим его график с целью приблизительного определения искомого действительного решения.
х := -10 … +10
Рис. 6.35 Графическое решение
Из графика видно, что это решение, определяемое как точка пересечения графика с осью абсцисс, лежит в промежутке значений х = 2…3.
Решение по правилу 6
Записываем многочлен из уравнения (6.4):
Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом месте символ переменной х – путем протаскивания курсора.
Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» и делаем щелчок по опции «Вычислить».
На рабочем листе получается результат:
Решение по правилу 2:
Записываем уравнение:
Вводим любое имя искомого решения и знак присвоения, например:
r := ,
после которого размещаем красный визир ±.
Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция f(x)» на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.
На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение», а в разделе «Название функций» - root (корни). После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции с четырьмя черными прямоугольниками, которые следует заполнить:
r := root (■, ■, ■, ■)
В первое окошко вписываем имя функций F(x), во второе – переменную х, в третье и четвертое – (а) нижний и (в) верхний пределы, внутри которых ищется решение. Запись приобретает вид:
r: = root (F(x), x, a, в) ,
(пределы согласно рисунку 6.1 установлены 0 и 3).
Вновь вводим искомое решение, но теперь со знаком равенства:
r = ,
и сразу получаем результат.
r = 2,8267802
Точность полученного результата устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.
Проводим проверку полученного результата, для чего вычисляем значение функции F(x) при найденном значении корня.
x := 2.8267802
F(x) = 2.287 · 10-7
Близость к нулю функции F(x) указывает на правильность полученного результата.
6.
Вычисления по циклу
При решении самых разнообразных научно-технических задач возникает необходимость в определении зависимости функции от одного или нескольких аргументов. Например, необходимо рассчитать мощность радиосигнала в зависимости от расстояния или колебательный процесс в электрическом контуре.
При этом результаты расчета следует представить в виде массива чисел, заключив их в определенную таблицу.
При подобных многократных расчетах по одной и той же формуле или алгоритму следует:
во-первых, выбрать «шаг» или дискрет изменения аргумента;
во-вторых, определить точность, с которой требуется рассчитывать значение того или иного параметра.
Иногда требуется рассчитать десятки, сотни и даже тысячи значений одной и той же функции в зависимости от значения аргумента.
В подобных случаях экономный путь решения задачи состоит в организации расчета в рамках определенного цикла.
В таком цикле автоматическое обращение к функции производится согласно зашитому в программу алгоритму.
При этом пользователь указывает только шаг, точность и количество вариантов расчета.
Самый простой способ организации циклического расчета состоит в использовании оператора цикла «m…n», пиктограмма которого расположена на математической панели инструментов «Матрица».
После вызова щелчком этого оператора в него следует ввести значения нижнего и верхнего пределов:
k := M…N,
где k – дискретно на 1 изменяемый параметр, последовательно принимающий целые значения от M≥0 до N. Причем при M<0 все значения функции при 0≤k<M принимают значения, равные 0.
Аргумент при циклическом расчете изменяется с «шагом» (дискретом) ∆, значение которого может быть выбрано любым.
Пример циклического расчета
Рассчитать
с «шагом»
затухающий колебательный процесс,
описываемый функцией:
,
при А = 10, α = 0,5, F = 10 и N = 1000.
Организуем цикл расчета с помощью записи k := 0…N и выражений для аргумента tk и дискретной функции Yk(tk), полученной из непрерывной функции Y(t).
Строим
график дискретной функции
:
Рис.6.36
График дискретной функции
Вывод
в виде таблицы дискретных значений
осуществляется путем записиY=
или
.
По умолчанию на рабочий лист выводится 16 значений функции.
Щелкнув по графику функции, обрамляют ее рамкой и путем протаскивания вниз курсора расширяют таблицу до любого требуемого значения k≤N.
При протаскивании курсора вверх таблица наоборот сжимается.
Таким
же образом можно вывести и таблицу
значений аргумента, сделав в рассматриваемом
случае запись
.
7.