Pimenov_V_Yu__Volman_V_I__Muravtsov_A_D_Tekhni

проводимости металлических элементов линии. Отличие в основном сводится к тому, что в соответствии с граничным условием Леонтовича-Щукина (7.52) у поверхности металлических частей линии передачи появляется весьма малая касательная составляющая вектора Е. Изменению структуры электрических силовых линий соответствует изменение структуры векторных линий магнитного поля. В частности, нормальная к поверхности металлических частей линии составляющая вектора Н не равна нулю. Однако, как уже отмечалось, эти изменения поля весьма малы, и обычно можно считать, что структура поля, найденная в приближении идеальной линии,

практически не отличается от структуры поля в реальной линии. Изменение структуры токов в основном сводится к тому, что они в действительности текут не по поверхности, а проникают на некоторую глубину внутрь проводника.

Наличие отличных от нуля тангенциальных составляющих векторов Е и Н у поверхности металлических элементов линии передачи означает, что вектор Пойнтинга имеет составляющую,

перпендикулярную этой поверхности, т.е. появляется поток энергии, направленный в металлические части линии передачи, и, следовательно, в них происходят джоулевы потери энергии (см.7.8.2).

Выделим на поверхности металлических частей линии передачи участок длиной ∆z, как показано на рис. 9.9. Средняя за период мощность тепловых потерь на отрезке проводника длиной ∆z согласно

(7.57)

Подставляя (9.54) и (9.46) в (9.49), находим коэффициент ослабления, обусловленный потерями в металлических элементах линии передачи:

Как уже отмечалось, распределение векторов в линии передачи с металлическими элементами,

обладающими конечной проводимостью, мало отличается от распределения тех же векторов в идеальной линии. Поэтому при вычислении α м по формуле (9.55) можно использовать значения векторов найденные при анализе идеальной линии передачи.

Глава 10

НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

10.1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД

10.1.1. Вывод формул для поля Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения

(рис. 10.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а

заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ. В такой направляющей системе могут существовать волны Е и Н и не могут существовать TЕМ-волны (см. 9.4). На рис. 10.1

показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода. Для определенности будем считать, что а ≥ b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи

(созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При а > b стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные (см. 9.2), то для вычисления поля волн Е и Н достаточно определить составляющую Еmz или Нтг соответственно.

Составляющие Ётz и Нтz удовлетворяют уравнению Гельмгольца

где функция w равна Emz для Е-волн и Hmzдля H-волн, - коэффициент фазы рассматриваемой

волны. Правая часть уравнения (10.1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (10.1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию w в виде w= w(x, у, z, t) = = w°(x, y)exp[i(ωt- β z)]. Очевидно, что функция w°(x, y) также удовлетворяет уравнению (10.1). Представим ее в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Отметим, что в случае Е-волн значения т = 0и n = 0 не годятся, так как при этом случае Emz = 0 во всех точках внутри волновода.

Поперечные составляющие векторов поля выражаются через Emz соотношениями (9.19) и (9.20).

Введем обозначение А•С = = EOz и выпишем окончательные выражения для составляющих векторов поля Е-волн в прямоугольном волноводе:

Подчеркнем, что индекс т в формулах (10.10а) и (10.106) имеет совершенно разный смысл. В (10.10а)

он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в

(10.106) индекс т - натуральное число, определяющее значение постоянной γх, как это следует из формулы (10.9).

Значение постоянной у± находится из формул (10.4) и (10.9):

Коэффициент фазы р вычисляется по формуле (9.14).

Таким образом, все параметры, входящие в формулы для поля Е-волн, кроме постоянной Е0z

определены. При той постановке задачи, которая была здесь использована, постоянную EOz

определить нельзя. Для ее нахождения требуются дополнительные данные: либо более конкретные сведения об источнике, создающем рассматриваемую волну, либо значение какой-нибудь составляющей векторов поля в точке, где эта составляющая отлична от нуля, либо задание мощности бегущей волны (т.е. задание среднего за период значения потока энергии через поперечное сечение волновода, соответствующего рассматриваемой волне). Для анализа вопросов, изучаемых в данной главе, конкретное значение постоянной EOz не требуется.

Прежде чем перейдем к анализу свойств поля Е-волн, описываемого выражениями (10.10), выведем формулы для поля Н-волн в прямоугольном волноводе. Волны Е и Н имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

В случае Н-волн (Hz≠0, Ёz=0) функция w = Hmz. Решение уравнения (10.1) строится так же, как для Е-волн. Изменяются только краевые условия. Требуя, чтобы касательные составляющие вектора Ё на стенках волновода обращались в нуль, имеем

Но искомой является функция w, поэтому выписанные краевые условия следует преобразовать в условия для функции w. Поперечные составляющие вектора Ет выражаются через Hmz

соотношением (9.14). Из этого соотношения и краевых условий (10.13) после перехода к функции w°(x, y) получаем

В отличие от (10.9) в случае Н-волн индексы т и п могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться нулю одновременно: при этом составляющая Нz не зависит от переменных х и у и вектор Ё будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н-волн в прямоугольном волноводе:

Аналогично случаю Е-волн в формулах (10.17а) индекс т указывает, что рассматриваются

комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (10.176) т связано с постоянной ух соотношением (10.16).

Составляющие векторов поля Н-волн найдены с точностью до произвольного постоянного множителя Hoz , определение которого в рамках выбранной электродинамической модели невозможно (см. аналогичное замечание, сделанное при анализе Е-волн).

Легко показать, что поперечное волновое число γ┴ и критическая длина волны λкр в случае Н-волн также определяются формулами (10.11) и (10.12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств Е- и Н-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (10.10) и (10.17), в прямоугольном волноводе возможно существование различных Е- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов т и п. Каждая пара значений индексов т и п определяет свои волны, которые обозначают Етп (в случае Е-волн) или Нтп (в случае Н-волн). При этом у Е-

волн m≥1 и n≥ 1, а у Н-волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре

стоячей волны, и ее можно характеризовать длинами волн λх = 2а/т и λу = 2b/п в направлениях осей

X и У соответственно. Индекс m, таким образом, равен числу полуволн (λх /2), укладывающихся на поперечном размере а стенки, параллельной оси X. Аналогично индекс п равен числу полуволн

(λх/2)- укладывающихся на поперечном размере b стенки, параллельной оси Y. Равенство нулю одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты (при n = 0-от координаты х, а при n= 0-от координаты y). Изменение всех составляющих комплексных амплитуд векторов Ё и Н вдоль оси Z описывается множителем ехр (- iβz).

Распространение волны происходит только при λ < λкр (предполагается, чтo в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (10.12). Она зависит от размеров а и b и от индексов т и п. При увеличении значений индексов т и n и

фиксированных размерах а и b значение λкр уменьшается. Наибольшую λкр среди всех возможных волн при а > b имеет волна Н10. Соответствующая ей λкр равна 2а. При а = b наибольшую λкр имеют две волны Ню и Н01. Волну, имеющую наибольшую λкр,

называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при а > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Длина волны в волноводе Λ, фазовая скорость vф и скорость распространения энергии vэ

вычисляются соответственно по формулам (9.17), (9.18) и (9.43), одинаковым для Е- и Н-волн.

Характеристическое сопротивление Е-волн вычисляется по формуле (9.21), а Н-волн - по формуле

(9.26).

Формулы (10.10) и (10.17) позволяют рассчитать и изобразить графически структуру поля (линии векторов Е и Н) любой из волн Етп или Нтп, распространяющихся в волноводе. В качестве примера на рис. 10.2 и 10.3 показаны структуры полей волн Е11 и Н10 соответственно в некоторый фиксированный момент времени в случае λ < λкр для трех сечений волновода. С течением времени картины, изображающие структуру

полей в продольных сечениях (сечения 2 и 3 на рис. 10.2 и 10.3), перемещаются вдоль оси Z с

фазовой скоростью соответствующей волны.

Отметим, что, зная структуру поля волны Е11, легко построить структуру поля волны Етп при любых значениях индексов тип. Например, структура поля волны Е21 представляет собой

объединение структур двух волн Е11 (рис. 10.4). Для построения структуры волны Етп нужно мысленно разделить волновод на т •п "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11, а линии векторов будут непрерывно переходить из одной

"секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис. 10.5.

При λ> λкр волна не распространяется: образуется стоячая волна, амплитуды составляющих векторов Е и Н которой экспоненциально убывают вдоль оси Z (в этом случае Напомним, что анализ проводится в предположении отсутствия потерь.

10.1.2. Основная волна прямоугольного волновода

Свойства волны. Как уже отмечалось, при а> b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (10.17) т=1 и n = 0 и учитывая формулы (10.16), получаем следующие выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов Е и Н в случае волны Н10:

Структура поля волны H10, построенная в соответствии с формулами (10.18), показана на рис.10.3 и 10.6. Остановимся на картине распределения поля волны H10 в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Согласно уравнениям Максвелла замкнутые линии магнитного поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В волноводе замкнутые линии магнитного поля пронизываются токами смещения. В случае волны Н10 (см. рис. 10.6) линии магнитного поля охватывают токи смещения, текущие между широкими стенками параллельно оси Y. В распространяющейся волне максимальная плотность тока смещения получается в центре замкнутых магнитных силовых -линий,

где напряженность электрического поля равна нулю.

Это следует из того, что вектор плотности тока смещения и, следовательно, сдвинут по фазе относительно вектора напряженности электрического поля на угол π/2, т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и максимумом напряженности электрического поля вдоль оси

Z в фиксированный момент времени равно Λ/4.

Фазовая скорость Vф, скорость распространения энергии VЭ, длина волны в волноводе Λ и

характеристическое сопротивление Zc в случае волны Н10 вычисляются по формулам

В соответствии с концепцией Бриллюэна (см. гл.9) представим волну Н10 в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.

Поле волны Н10 не зависит от переменной у. Следовательно, поля парциальных волн также не должны зависеть от у, т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и х = а) стенок волновода.

Пусть парциальная волна распространяется под углом ф к оси Z (волна 1 на рис.10.7). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля этой волны Ёт1 определяется выражением где А - некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н10 имеет пучность на плоскости х = а/2 и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому кроме волны

(10.20) должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна (волна 2), распространяющаяся, как

показано на рис.10.7. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля этой волны равна Для образования пучности электрического поля в плоскости х = а/2 необходимо, чтобы векторы Ёт1

и Ёт2 при х = а/2 складывались синфазно. Для этого достаточно, например, чтобы фаза вектора Ёт2 в

точке (а, 0, 0) совпадала с фазой вектора Ёт1 в точке (0, 0, 0). С учетом данного условия вектор Для определения угла ф учтем, что на поперечном размере а широкой стенки волновода должна укладываться половина длины волны λх, а на отрезке ОА - половина длины волны ТЕМ (λI2). Из треугольника ОАВ (см. рис. 10.8) следует равенство Полученный результат отличается от выражения для Ёту в формуле (10.17) лишь постоянным

коэффициентом, что несущественно, так как формулы (10.17) были найдены с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются

составляющие Нтх и Hmz. Они отличаются от соответствующих выражений в (10.17) лишь тем же постоянным множителем.

Из рис. 10.8 и формулы (10.21) видно, что по мере повышения частоты (уменьшения X) уменьшается угол ф и, следовательно, тем меньше по абсолютной векличине становится продольная составляющая Hmz по сравнению с поперечной составляющей

Нтх, т.е. структура волны Н10 начинает приближаться к структуре волны ТЕМ. Одновременно, как следует из (10.19), уменьшается разница между и с. Аналогично можно интерпретировать и другие типы волн в прямоугольном волноводе.

10.1.3. Токи на стенках прямоугольного волновода Каждому типу волны, распространяющейся в волноводе, соответствует определенная структура

токов проводимости на его стенках. В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а комплексная амплитуда их плотности

jSm вычисляется по формуле

Распределение составляющих плотности токов проводимости по контуру Г и структура линий вектора js на стенках волновода для волны Н10 показаны на рис. 10.9 и 10.10 соответственно. В

случае волны Е11 по стенкам волновода текут только продольные токи (рис. 10.11).

10.1.4. Выбор размеров поперечного сечения прямоугольного волновода из условия одноволновой передачи Как было показано выше, в прямоугольном волноводе возможно существование бесконечного числа

типов волн, отличающихся друг от друга структурой электрического и магнитного полей,

критическими частотами, фазовой скоростью и другими параметрами. Однако при конструировании линий передачи обычно принимают все меры к тому, чтобы энергия переносилась каким-либо одним типом волны. Объясняется это тем, что различным типам волн соответствуют различные групповые скорости. Поэтому при передаче сигнала несколькими типами волн один и тот же сигнал приходит в точку приема в виде нескольких смещенных во времени сигналов, что приводит к его искажению и увеличению уровня шумов. Характер искажений зависит от способа модуляции, вида и скорости передаваемой информации и других факторов.

Передачу энергии одним типом волны наиболее просто обеспечить, если в качестве этого типа использовать основную волну, имеющую наибольшую λкр. Для этого достаточно так выбрать поперечные размеры линии, чтобы на любой частоте рабочего диапазона длина волны электромагнитных колебаний не превышала критической длины основной волны (λкр (1)), но была

больше критической длины волны первого высшего типа (λкр(2) ).Такой режим называют одноволновым. Полосу частот, в пределах которой сохраняется одноволновый режим, обычно характеризуют коэффициентом широкополосности Частотный диапазон использования прямоугольных волноводов, охватывающий частоты от 400 МГц

до 140 ГГц, в соответствии с рекомендацией Международной электротехнической комиссии разбит на 28 поддиапазонов, частично перекрывающих друг друга, и для каждого поддиапазона рекомендованы стандартные размеры волновода [33]. На частотах порядка 500 МГц и ниже прямоугольные волноводы применяются редко из-за значительных габаритов и массы. Например,

отрезок волновода из алюминия длиной 1 м при размерах поперечного сечения 457x228,5 мм (λо= 60

см) и с толщиной стенок 3 мм имеет массу около 11 кг, а медный того же сечения и с той же толщиной стенок - около 36 кг.

10.1.5. Передача энергии по прямоугольному волноводу Мощность бегущей волны (см.9.7.1) вычисляется по формуле (9.46). В случае волны /-/10 из формул

(9.46) и (10.17) получаем

где Е0= (ωμa/π)Нozамплитудное значение напряженности электрического поля волны Н10. При выводе формулы (10.26) учтено, что ωμ = kZc. При стандартных размерах волновода (а = 0,75λ, b = 0,5а), подставляя предельное значение Ео= 30 кВ/см, находим, что предельная мощность волны Н10

равна PnpeдH10 = 125λ2кВт, где длина волны выражена в сантиметрах. Например, при λ = 30 см предельная мощность РпредН10 =112 МВт. Соответственно допустимая мощность (см.9.7.1)

Рдопн10 =28 МВт. Как видно, в дециметровом диапазоне по прямоугольному волноводу стандартного сечения можно передавать весьма значительную мощность. Однако по мере повышения частоты допустимая мощность быстро уменьшается и при λ = 1 см не превышает 30...45

кВт.

Когда методы повышения электрической прочности, указанные в 9.7.2, почему-либо неприемлемы,

то, как следует из формулы (10.26), предельную мощность можно существенно повысить, увеличив площадь поперечного сечения волновода по сравнению со стандартными.

Если размеры волновода увеличены настолько, что в части или во всем рабочем диапазоне волновод оказывается в многоволновом режиме, то необходимо принять специальные меры для предотвращения распространения всех типов волн, кроме Н10 (см. 13.2).

Коэффициент ослабления αм, обусловленный потерями энергии в металлических стенках волновода,

вычисляется по формуле (9.49) с учетом (9.46) и (9.54). Ограничимся вычислением αм для волны Н10. Подставляя (10.18) в (9.46) и (9.54), находим значения Рср и Рп ср соответственно. Подставляя затем полученные выражения в (9.49), после несложных преобразований имеем Аналогично выводятся формулы для коэффициентов ослабления, соответствующих другим типам

волн. Расчеты показывают, что наименьшие потери в прямоугольном волноводе имеют место при передаче энергии волной Н10. На рис.10.12 показаны графики зависимости коэффициента ослабления αм (в дБ/км) от частоты для волн Н10, Е11 и Н20 в случае медного волновода при а = 51

мм и b = 25 мм. Как видно из приведенных графиков, потери энергии в волноводе резко возрастают при приближении частоты к критической.

Это свойство, характерное для всех металлических волноводов, легко объясняется на основе концепции парциальных волн. Действительно, у Е- и Н-волн парциальные волны распространяются

по ломаным линиям, многократно отражаясь от поверхности металлических стенок. На частотах,

близких к критической, угол падения парциальных волн на металлическую поверхность мало отличается от нулевого (угол ф на рис. 10.7 близок к π/2). Но чем ближе угол падения к нулю, тем большее число отражений испытывают парциальные волны при своем движении на некотором отрезке линии. При каждом отражении часть энергии электромагнитной волны теряется из-за неидеальной проводимости металла (появляется преломленная волна). Поэтому потери в проводниках линии, перенос энергии по которым осуществляется Е- и Н-волнами, растут по мере приближения . к критической частоте. Вслед за резким падением затухания при удалении от критической частоты (рис.10.12) снова начинается его монотонное возрастание, вызванное увеличением поверхностного сопротивления металла Rs с ростом частоты.

Отметим, что, как следует из формулы (10.27), в. коротковолновой части сантиметрового диапазона потери в стандартных волноводах весьма велики. Например, при λ = λ0=0,01 м в стандартном волноводе с медными стенками = 0,55 дБ/м,

т.е. при длине линии всего 10 м потери энергии будут составлять 5,5 дБ (более 70 % входящей мощности). Объясняется это тем, что при заданной мощности уменьшение поперечных размеров волновода сопровождается возрастанием плотности поверхностного тока проводимости в его стенках и соответственно возрастают потери. Поэтому на волнах порядка 1 см и короче применение прямоугольных волноводов целесообразно только в виде коротких отрезков. В некоторых случаях,

чтобы уменьшить потери, размеры поперечного сечения волновода увеличивают по сравнению со стандартными.

10.2. КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД

10.2.1. Вывод формул для поля При анализе волн в круглом волноводе (рис. 10.13) будем считать, что заполняющая его среда -

идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В

таком волноводе возможно раздельное существование Е- и /-/-волн и невозможно существование ТЕМ-волн (см. 9.4). При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат,

совместив ось Z с продольной

а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326)

имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (10.326) т- определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (10.326) постоянная ф0 влияет только на начало отсчета угла φ, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Z. В рамках используемой физико-

математической модели постоянные EOz и φ0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны,

ориентации вектора γ┴ и т.д.). Аналогичный вопрос обсуждался ранее при анализе формул (10.16) и (10.17).

Чтобы найти неизвестную постоянную ух, используем граничное условие (1.104). В

рассматриваемом случае из него следует равенство

где а - радиус волновода (см. рис. 10.13). Подставляя выражение для Еz°( r, φ,) из (10.326) в (10.33),

получаем

Jm (γ┴ a) =0 (10.34)

Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя m-го порядка через vmnE (см. рис.10.14), из (10.34) находим

Параметр β вычисляется по формуле (9.14).

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры.

Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения {10.34).

Например, корню соответствует волна Е01 корню v12Е -волна Е12, корню vmnЕ - волна Етп.

Зависимость структуры поля волны от угла φ определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе:

поле волны периодично по углу φ с периодом 2π/m. Индекс т, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла φ).

На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса т и п. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а п-число вариаций составляющих векторов поля при изменении г от 0 до а: при /7=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при л = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной ух соотношением (10.33). В рассматриваемом случае

Несколько первых корней функций Бесселя vmnE в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (10.36), приведены в табл. 10.1. Низшим типом среди волн Е в круглом волноводе является волна Е01-

Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по формулам (9.18), (9.43), (9.17) и (9.21)

соответственно. На рис. 10.15 показана структура поля волны Е01.

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Нтп. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Етп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n-с номером нуля первой производной функции Бесселя т-го порядка.

Так же как и в случае E-волн, структура поля волны Нтп периодична по углу ср с периодом 2π/m, т.е.

индекс т равен числу периодов структуры поля волны Нтп, укладывающихся на интервале [0, 2π]

изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла φ. Индекс л равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней vmnH в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле приведены в табл. 10.2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе,

как следует из табл. 10.1 и 10.2, является волна Нц. Интересно отметить, что структура поля этой волны (рис. 10.16) близка к структуре поля волны Н10 в прямоугольном волноводе (см. рис. 10.3),

также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис. 10.17 показана структура поля волны Н01.

Параметры H-волн β, vф, vЭ и Λ вычисляются по формулам (9.14), (9.18), (9.43) и (9.17)

соответственно, а характеристическое сопротивление находится по формуле (9.26).

10.2.2. Токи на стенках круглого волновода

Плотность токов на стенках круглого волновода jSm в соответствии с граничным условием (1.110)

определяется формулой Из формул (10.41) и (10.37) следует, что при распространении по волноводу основной волны Н11 на

его стенках текут и поперечные, и продольные токи (рис.10.18), а волна Н01 возбуждает только поперечные токи (рис. 10.19). В случае волны Е01, как следует из формул (10.41) и (10.32), текут только продольные токи, равномерно распределенные по периметру волновода.

10.2.3. Передача энергии по круглому волноводу Основной волной круглого волновода является волна Н11, а первым высшим типом – Е01 Поэтому в

соответствии с данными табл.10.1 и 10.2 условие одноволновости имеет вид 2,61а<λ<3,41а

Коэффициент широкополосности, определяемый по формуле (10.24), ζ = 1,3, т.е. существенно ниже,

чем у прямоугольного волновода.

Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощность бегущей волны), рассчитывается по формуле (9.46). Вычисляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Н„ получаем:

Коэффициент ослабления α мсоответствующий волне Н11, вычисляется по формуле Формулы для коэффициента ослабления αм, соответствующие другим типам волн, могут быть

получены из (9.49). Окончательные выражения приведены, например, в [1]. Графики зависимости αм (в дБ/м) от частоты для волн Н11, Е01 и H01 в круглом медном волноводе для случая а = 25,4 мм показаны на рис. 10.20. Как видно, для волн Н11 и Еo1 они аналогичны графикам, приведенным на рис.10.12 для случая волн в прямоугольном волноводе. График, характеризующий зависимость коэффициента, ослабления от частоты для волны Н01 в круглом волноводе, имеет существенное отличие от графиков для волн Н11 и Е01. У этих волн коэффициент αм неограниченно возрастает при f+fKp и f→∞. Указанные особенности поведения αм объясняются так же, как в случае прямоугольного волновода. Поведение коэффициента ослабления волны Н01 в круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер, а именно коэффициент αм для этой волны монотонно убывает с ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у волны Ho1 в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока проводимости не имеет продольной составляющей (j Smz=0).

Отличная от нуля составляющая jSmφ) возбуждается продольной составляющей напряженности магнитного поля Hmz(a, φ,z). При повышении частоты в волноводе с фиксированными размерами поперечного сечения структура поля любой волны приближается к структуре поля ТЕМ-волны, у

которой Нz = 0. Следовательно, у волны Н01 при повышении частоты Hmz -> 0 и одновременно стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на волне Н01 меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне Н11, если только а/λ>2, а существенный выигрыш достигается при а/λ>3...4.

10.3. ВОЛНОВОДЫ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

10.3.1. П-и Н-образные волноводы Одноволновый режим в стандартном прямоугольном волноводе, как было показано в 10.1.4,

сохраняется в двукратной полосе частот. Однако используемый на практике диапазон частот обычно не превышает полуторакратного, поскольку в области частот, близких к критической, велики тепловые потери и мала допустимая мощность.

В значительно более широкой полосе частот можно сохранить одноволновый режим при использовании П- и Н-образных волноводов (см. рис.10.21 и 10.22), которые часто называют более коротко: П- и Н-волноводы. Если так подобрать поперечные размеры этих волноводов, чтобы коэффициент их широкополосное был равен коэффициенту широкополосности прямоугольного волновода, то П- и Н-волноводы будут иметь меньшие габариты, чем прямоугольный волновод. На рис.10.21 и 10.23 показана структура электрического поля соответственно волн Н10 и Н20 в

поперечном сечении П-волновода. Эти волны условно названы Н10 и Н20. Основанием для этого является то, что при плавном уменьшении высоты прямоугольного выступа t (обычно его называют ребром) они постепенно преобразуются в волны /-/10 и Н2о прямоугольного волновода.

При равных размерах а и b расширение рабочей полосы частот у Н- и П-волноводов по сравнению с прямоугольным достигается за счет того, что они имеют практически равные критические частоты для волны Н20, а критическая частота для волны Ню в Н- и П-волноводах существенно ниже, чем в прямоугольных. Сказанное можно объяснить следующим образом. Ребро (или ребра у /-/-волновода)

находится в пучности напряженности электрического поля .волны Н10, где концентрация электромагнитного поля относительно велика. Наличие ребра приводит к еще большей концентрации поля и энергии в этом месте. Поэтому свойства волны и, в

частности, критическая частота определяются в основном структурой поля в зазоре. Пока отношение ширины ребра s (рис. 10.21) к ширине волновода а не превышает 0,2...0,3, энергия электрического и магнитного полей вблизи боковых стенок волновода мала и мала продольная составляющая Hz

магнитного поля. Распространяющаяся в П-волноводе волна близка по структуре к ТЕМ-волне.

Поэтому введение ребра приближает структуру волны Н10 к структуре ТЕМ-волны и приводит к понижению критической частоты волны Н10. (Напомним, что у ТЕМ-волны fкp = 0 (см. 9.4)).

Чем больше высота t ребра, т.е. чем ближе отношение t/b к единице, тем выше концентрация поля в зазоре и тем, следовательно, ниже критическая частота волны Н10- В то же время влияние относительно узкого (s/a < 0,2...0,3) ребра (или ребер в Н-волноводе) на критическую частоту волны Н2о незначительно, так как ребро вводится в сечение, где напряженность электрического поля волны Н2о мала (рис.10.23). Поэтому при s/a ≤ 0,2...0,3 коэффициент широкополосности ζ Н- и П-волно-

водов существенно выше, чем прямоугольного волновода с теми же размерами а и b. Дальнейшее увеличение отношения s/a приводит к уменьшению коэффициента широкополосности, так как боковые стенки волновода приближаются к краям ребер, возрастает концентрация энергии полей вблизи боковых стенок и увеличивается продольная составляющая Нz напряженности магнитного поля, повышается критическая частота волны Н10, уменьшается коэффициент широкополосности.

Недостатком Н- и П-волноводов являются повышенный по сравнению с прямоугольным волноводом уровень потерь и пониженная электрическая прочность. Чем больше высота ребра t, тем меньше предельная мощность и выше потери. Поэтому обычно применяют Н- и П-волноводы с ζ≤4.

10.3.2. Эллиптические волноводы

Волна Н11 в круглом волноводе описывается формулами (10.37) при т=1 и n = 1. В эти формулы входит угол ф0, изменение которого соответствует повороту структуры поля волны вокруг оси Z, т.е.

к изменению ориентации (поляризации) вектора Е на оси волновода. Будем называть плоскостью поляризации волны диаметральное сечение волновода, содержащее вектор Е. У волны 1, показанной на рис.10.24,а, угол φО=О и входящая в выражение для Н°zфункция cos (φ - φ0) = cos φ, а плоскость