Pimenov_V_Yu__Volman_V_I__Muravtsov_A_D_Tekhni

Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают в направлении нормали к поверхности раздела (вдоль оси X). Имеется продольная по отношению к направлению распространения преломленной волны составляющая вектора Н (в случае нормальной поляризации) или продольная составляющая вектора Е (в случае параллельной поляризации).

Поле в первой среде складывается из падающей и отраженной волн и не имеет принципиальных отличий от поля, возникающего при отражении волны от границы раздела двух диэлектриков.

Аналогичные результаты можно получить, анализируя случай параллельной поляризации.

Практически важным является случай, когда вторая среда оптически намного плотнее первой:

Это означает, что при любом угле падения ср на поверхность хорошо проводящей среды преломленная волна распространяется практически вдоль нормали к поверхности раздела.

Поверхности равных фаз и поверхности равных амплитуд при этом практически совпадают, и волну можно считать однородной. Продольная по отношению к направлению распространения составляющая вектора Н (или, в случае параллельной поляризации, вектора Ё)будет пренебрежимо мала по сравнению с поперечной составляющей. Можно считать, таким образом, что волна является поперечной, причем векторы Е и Н, в ней сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол Иными словами, при анализе плоской волны, возникающей в результате преломления на поверхности хорошо проводящей среды, можно использовать все основные соотношения, полученные в 6.1.4 при исследовании свойств плоской волны, свободно распространяющейся в хорошо проводящей безграничной однородной изотропной среде.

Подчеркнем, что амплитуды векторов Е и Н преломленной волны в металле быстро убывают с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела.

7.7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЕОНТОВИЧА-ЩУКИНА Задача определения поля в присутствии металлических тел с конечной проводимостью имеет

большое значение. Ее решение часто можно упростить введением приближенных граничных условий Леонтовича-Щукина. В отличие от обычных граничных условий, связывающих значения составляющих поля на границе раздела в разных средах, граничные условия Леонтовича-Щукина выражают связь между составляющими векторов Ё и Н в одной среде.

В 7.6 было показано, что при выполнении условия (7.49) плоская волна, падающая под любым углом ср на границу раздела двух сред, возбуждает во второй среде плоскую волну, распространяющуюся практически вдоль нормали к поверхности раздела. Так как ПРФ и ПРА такой волны практически совпадают, то ее можно считать однородной. При этом должны выполняться соотношения где п0-единичная нормаль, внешняя к плотной среде.

Соотношение (7.52) называют приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина. Из него следует, что на поверхности реального проводника касательная составляющая напряженности электрического поля отлична от нуля. Отметим, что граничное условие Леонтовича-Щукина в предельном случае σ2→∞совпадает с обычным условием Е1τ=0, которое должно выполняться на поверхности идеального проводника.

Так как характеристическое сопротивление в случае хорошо проводящей среды мало, то и касательная составляющая вектора Е на поверхности такой среды будет мала. Однако она определяет нормальную к поверхности проводника компоненту вектора Пойнтинга, т.е. уходящий в металл

поток энергии. В инженерных расчетах касательную составляющую вектора Е на поверхности реального проводника обычно не учитывают, кроме тех случаев, когда требуется определить потери в проводнике, т.е. считают, что структура поля над реальным проводником такая же, как и над идеальным проводником той же конфигурации.

Граничное условие (7.52) является приближенным. Это следует непосредственно из его вывода, при котором предполагалось, что образующиеся во второй среде волны распространяются строго по нормали к поверхности раздела. В действительности направление распространения образует некоторый (в случае металлов очень малый) угол с нормалью к поверхности раздела.

Условие (7.52) было получено в предположении, что граница раздела является плоской. При произвольной форме поверхности раздела условием (7.52) можно пользоваться только в тех случаях,

если минимальный радиус кривизны поверхности Rmin значительно превышает глубину проникновения Δ0 (см. 6.1.6):

7.8. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ

7.8.1. Явление поверхностного эффекта Выше (см. 6.1.5) было показано, что напряженность переменного электрического поля внутри

металла, а следовательно, и плотность тока (j = σE) экспоненциально убывают по мере удаления от поверхности раздела. На высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называют поверхностным эффектом или скин-эффектом.

В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Это приводит к увеличению активного сопротивления провода. На высоких частотах оно может во много раз превысить сопротивление провода при постоянном токе. Кроме того, поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию,

сосредоточенную внутри проводника, что вызывает уменьшение внутренней индуктивности провода. Очевидно, что поверхностный эффект тем заметнее, чем больше радиус провода. Так как вследствие поверхностного эффекта центральная часть провода, по существу, не используется, то. на высоких частотах для экономии металла и уменьшения веса часто сплошные провода заменяют полыми.

Явление поверхностного эффекта позволяет использовать металлические экраны для защиты различных элементов электрических цепей от влияния на них переменного электрического поля.

Если экран полностью охватывает объект, а его толщина составляет несколько глубин проникновения (Δ0), то внешнее электромагнитное поле практически сквозь него не проникает.

Очевидно также, что при этих условиях существующее внутри экрана поле, в свою очередь, не сможет проникнуть в окружающее пространство. Если защищаемый объект неполностью охватывается экраном, то электромагнитное поле будет частично проникать за экран в результате дифракции волн (см. гл. 8).

Следует отметить, что в случае постоянных и низкочастотных полей металлический экран не пропускает электрическое поле, но пропускает магнитное, если он выполнен из парамагнитного или диамагнитного металла.

7.8.2. Потери энергии в проводнике Пусть металлический объект, размеры и минимальный радиус кривизны поверхности которого

велики по сравнению с глубиной проникновения, находится в монохроматическом

электромагнитном поле. Под воздействием этого поля в металле наводятся электрические токи, на поддержание которых расходуется электромагнитная энергия. Вычислим соответствующую этому процессу среднюю за период мощность джоулевых потерь. Запишем уравнение баланса средних за период значений мощности для объема V, занимаемого рассматриваемым объектом. Учитывая, что внутри объема V нет сторонних источников, приходим к равенству 0 = РПср + PΣcp, из которого следует, что

где n0-орт внешней нормали к поверхности рассматриваемого объекта S. Как видно, для определения мощности Рпср нет необходимости вычислять поле внутри объекта, достаточно проинтегрировать по

S перпендикулярную к ней составляющую комплексного вектора Пойнтинга. Знак минус в формуле

(7.54) объясняется тем, что джоулевы потери определяются потоком энергии, направленным внутрь проводника, а орт п0 направлен из объема V в окружающее пространство. Нормальная составляющая вектора Пойнтинга определяется касательными составляющими векторов Где μ2 и σ2 - абсолютная магнитная проницаемость и удельная проводимость проводника.

Таким образом, средняя за период мощность джоулевых потерь в проводнике Как уже отмечалось, структура поля у поверхности реального проводника близка к структуре поля у

такой же поверхности идеального проводника. Поэтому при вычислении потерь обычно предполагают, что Это предположение существенно упрощает расчеты, обеспечивая достаточную для инженерной практики точность результатов. 7.8.3. Эквивалентный поверхностный ток

Так как на высоких частотах ток фактически сосредоточен в тонком слое у поверхности проводника,

часто оказывается удобным заменить реальное распределение тока эквивалентным поверхностным током. Для определения плотности этого эквивалентного поверхностного тока js предположим, что проводящее тело занимает все нижнее полупространство (рис.7.8). Выделим мысленно в нем

"брусок" толщиной Δl, боковые грани которого параллельны вектору плотности тока j. Толщину Δl,

выберем достаточно малой, чтобы в пределах Δl,плотность тока j и напряженность магнитного поля Н можно было считать неизменными. Так как в хорошо проводящей среде плотность тока смещения пренебрежимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости, то полный ток, протекающей в выделенном "бруске", можно считать равным где Г - контур поперечного сечения "бруска".

Так как по предположению векторы j и Н в пределах Δl, не меняются,

то интегралы по линиям, перпендикулярным поверхности тела, равны по величине и противоположны по знаку. Кроме того, поскольку в точках, бесконечно удаленных от поверхности тела напряженность магнитного поля равна нулю, получаем, что интеграл в формуле (7.57) равен интегралу по отрезку АВ на рис7.78:

Если считать, что весь ток течет по поверхности проводника, то значение i в формуле (7.59) равно поверхностному току. Его плотность jS = i/ Δl= Н° или в векторной форме

Это выражение аналогично граничному условию для касательной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности идеального проводника.

7.8.4. Поверхностное сопротивление проводника Касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла Ё1τи

плотность эквивалентного поверхностного тока js направлены одинаково. Следовательно, можно

записать

Коэфффициент пропорциональности Zs принято называть поверхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу (7.60) и граничное условие Леонтовича-Щукина (7.52), получаем,

что поверхностное сопротивление Активная часть поверхностного сопротивления

Из этого выражения следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной Δ0 без учета поверхностного эффекта (отсюда и термин "глубина проникновения").

Отметим, что среднюю за период мощность потерь в проводнике [формула (7.57)] можно выразить также через эквивалентный поверхностный ток и активную часть поверхностного сопротивления: 7.8.5. Сопротивление цилиндрического проводника Случай резко выраженного поверхностного эффекта. Сопротивление цилиндрического провода при

переменном токе отличается от его сопротивления при постоянном токе. Это отличие обусловлено поверхностным эффектом. При одной и той же частоте поверхностный эффект будет проявляться тем сильнее, чем больше диаметр провода по сравнению с Δ0.

Рассмотрим сначала случай сильно выраженного поверхностного эффекта (толстый проводник).

Пусть по цилиндрическому проводу радиуса а распространяется бегущая волна тока. Выделим достаточно малый элемент провода длины l, в пределах которого можно считать, что амплитуда тока не меняется. Предположим, что радиус провода а значительно превышает глубину проникновения (а» Δ°). В этом случае при определении сопротивления провода можно использовать результаты предыдущего раздела.

Комплексное сопротивление провода на единицу длины определяется формулой

где im - комплексная амплитуда тока в проводе, а Ům-комплексная амплитуда напряжения на концах отрезка провода длины l Совместим ось Z цилиндрической системы координат с осью провода.

Тогда d1 = z0dl,

Подставляя выражения (7.66) в (7.65) и учитывая соотношения (7.61) и (7.62), получаем Сопротивление Z можно выразить через активное сопротивление R и внутреннюю индуктивностьLi,

приходящиеся на единицу длины провода: Z = R+iωL/. Отделяя в (7.67) действительную и мнимую части, находим R и L:

Из сравнения значений R и Liпри переменном токе с их значениями при постоянном токе (см.4.6)

следует, что отношение RIRo с ростом частоты увеличивается, а отношение Li/Li,o, наоборот,

уменьшается.

Полученные формулы можно использовать только при условии а»Δ ° Если это условие не выполняется, то для того, чтобы определить сопротивление провода, нужно найти его внутреннее поле.

Сопротивление провода с учетом его внутреннего поля. Введем цилиндрическую систему координат

τ, φ, z, ось Z которой совпадает с осью рассматриваемого уединенного провода. Комплексную амплитуду плотности тока в проводе можно представить в виде где b - комплексная постоянная,

характеризующая распространение волны тока (электромагнитной волны) вдоль провода. Отметим,

что постоянная, b связана с постоянной распространения γ, используемой в электротехнике,

соотношением ехр (- ibz) = ехр (-γz) или b=-iγ. Известно (см., например, [13], что постоянная b по

абсолютной величине близка к волновому числу соответствующему среде, окружающей провод.

Комплексная амплитуда продольной составляющей напряженности электрического поля внутри провода записывается

где J(k2r) и N0(k2r) -соответственно функции Бесселя и Неймана нулевого порядка, а А и В -

произвольные постоянные. При r=0 (т.е. на оси провода) функция J0(k2r) является ограниченной, a N0(k2r) обращается в бесконечность. Поэтому в выражение (7.69) нужно положить B = 0. Для сокращения формул Подставляя это выражение в (7.72), приходим к формуле (7.67). В случае тонких проводов, для

которых а«:Δ°, модуль аргумента функций Бесселя |k2а|«1- Используя асимптотическое представление функциий Бесселя для малых значений аргумента Множитель 1/(πа2σ2) в формуле (7.73) совпадает с сопротивленцем проводника при постоянном

токе. Так как по предположению а«Δ°, то поправочный коэффициент будет мал по сравнению с единицей. Как и следовало ожидать, поверхностный эффект в этом случае проявляется слабо.

Отметим, что полученные в данном разделе формулы для погонного сопротивления провода верны в случае уединенного провода. Если линия состоит из нескольких параллельных проводов, то распределение тока по сечению провода нельзя считать осесимметричным. Учет несимметричного распределения тока приводит к увеличению погонного активного сопротивления. Однако если расстояние между проводами значительно больше диаметра провода, то поправка получается небольшой и ею можно пренебречь.

Глава 8

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

8.1. Строгая постановка задач дифракции В гл.7 анализировалась структура электромагнитного поля, возникающего при падении однородной

плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. Однако во многих практически важных случаях поверхность раздела нельзя считать безграничной плоскостью, а падающую волну - плоской.

При падении электромагнитной волны на тело конечных размеров (или на край полубесконечного тела) помимо отражения и преломления (см. гл.7) также имеет место более сложное явление,

называемое дифракцией. Поэтому задачи определения влияния различных объектов на структуру электромагнитного поля часто называют задачами дифракции. С необходимостью их решения,

встречаются при проектировании и анализе антенных устройств, при исследовании распространения радиоволн в неоднородных средах, в радиолокации и др.

В настоящей главе излагаются некоторые методы решения задач дифракции монохроматических электромагнитных волн на металлических телах, расположенных в безграничной однородной изотропной среде. Поле Ё°,Н° падающей волны (его называют первичным) считается известным. Для простоты предположим, что возбуждаемое этой волной тело является идеально проводящим, а в окружающей его среде (она характеризуется параметрами ε и μ )отсутствуют потери энергии. Под действием первичного поля на поверхности S тела возникают электрические токи, которые создают вторичное электромагнитное поле Ёт,Нт. Так как первичное поле известно, то задача сводится к определению вторичного поля, причем достаточно найти один из его векторов Ёт или Нт, так как любой из них можно однозначно выразить через другой непосредственно из уравнений Максвелла для монохроматического поля.

Во внешнем, по отношению к поверхности S пространстве вектор Ё удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца (2.33), в котором надо положить На поверхности S касательная составляющая напряженности полного электрического поля Ё° +Ё должна быть равна нулю.

Следовательно,

где п0 - единичная нормаль к поверхности S.

Кроме того, должно выполняться определенное условие в бесконечно удаленных точках. Если поверхность S имеет ограниченные размеры, в качестве такого условия можно использовать условие излучения (2.23).

Если рассматриваемое тело не имеет острых кромок (ребер), то сформулированная выше задача имеет единственное решение. При их наличии для единственности решения в общем случае требуется ввести дополнительное условие (условия на ребре),

определяющее поведение составляющих векторов Ё и Н вблизи острой кромки (см. 2.2.3).

Следует отметить, что решение многих задач существенно упрощается, если ввести некоторые вспомогательные функции (например, векторный потенциал А, вектор Герца Г и др.).

При построении решения задачи дифракции электромагнирных волн в строгой постановке ее обычно сводят либо к дифференциальному уравнению (уравнению Гельмгольца), либо к интегральным (в

общем случае интегро-дифференциальным) уравнениям. В некоторых простейших случаях удается найти аналитическое решение, в остальных-решение может быть построено только на основе численных методов. Рассмотрим указанные подходы на примере некоторых простых задач дифракции.

8.2. ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ Пусть плоская линейно поляризованная электромагнитная волна падает на идеально проводящий

круговой цилиндр радиуса а перпендикулярно его оси (рис. 8.1). Введем цилиндрическую систему координат r, φ, z, ось Z которой совпадает с осью цилиндра, а угол φ отсчитывается от оси X,

противоположной направлению распространения волны.

При решении задачи можно ограничиться рассмотрением двух типов поляризации падающей волны относительно оси цилиндра:

а) вектор Ё° параллелен оси Z, б) вектор Н° параллелен оси Z.

Любую другую ориентацию векторов Ё° и Н° первичного поля можно представить как суперпозицию этих случаев. Остановимся подробнее на первой задаче, так как вторая решается аналогично. Напряженность электрического поля падающей волны имеет

только z-ю составляющую

Рассматриваемая задача является двумерной (отсутствует зависимость от переменной z), поэтому уравнение (2.33) для напряженности вторичного электрического поля, которая также будет иметь лишь z-ю составляющую (Ёт = z0 Ё(r, φ)), принимает вид

Функция Е на поверхности S должна удовлетворять граничному условию (8.1), которое в рассматриваемом случае принимает вид

Ё(а, φ) = -Е0 ехр(ika cosφ), (8.4)

а в бесконечно удаленных точках - условию излучения. Это условие, по существу, состоит в следующем. При r→∞ в выражение для функции Ё(r,φ) должны входить составляющие с фазовым множителем вида ехр (- ikr), которые соответствуют волне, уходящей в бесконечность от оси Z;

составляющие же с фазовым множителем ехр (ikr), которые соответствуют волне,

распространяющейся из бесконечности к оси Z, должны отсутствовать.

Для решения задачи применим метод Фурье (см. 3.5.3, где этим методом решена задача Дирихле для прямоугольной области). Представим функцию Ё(r,φ) в виде

Подставим эту формулу в уравнение (8.3) и умножим обе его части на r2.Выполним дифференцирование и разделим затем получающееся уравнение почленно на произведение RФ:

Левая часть полученного уравнения зависит только от переменной r, а правая - только от переменной

φ. Переменные r, и φ являются независимыми. Следовательно, уравнение (8.5) представляет собой равенство двух независимых функций. Это возможно только при условии, что каждая из функций равна постоянной. Обозначая последнюю через т2, приходим к двум независимым дифференциальным уравнениям:

Очевидно, что при изменении угла φ на 2π значение искомой функции Е(r, π) должно остаться прежним:

Условие (8.8) можно переписать для функции Ф:

Решение уравнения (8.6) имеет вид где А и В - произвольные постоянные.

Условие (8.9) выполняется, если т - целое число (т=0,1,2,...). Напряженность первичного электрического поля - четная функция относительно угла φ. Поэтому можно предположить, что функция Е, а следовательно, и функция Ф также должны быть четными относительно угла φ. Таким образом, постоянная А = 0 и

Уравнение (8.7) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде

где Jm(kr) и N m(kг) - функции Бесселя т-го порядка первого и второго рода соответственно

(функцию Nm(kr) часто называют также функцией Неймана m-го порядка), а С’ и С’ - произвольные постоянные.

В рассматриваемом случае решение уравнения (8.7) удобнее выразить через функции Бесселя третьего рода - функции Ханкеля:

где -функции Ханкеля m-го порядка первого и второго рода соответственно, а С и D - произвольные постоянные. Отметим, что функции Бесселя, Неймана и Ханкеля часто называют также цилиндрическими функциями первого, второго и третьего рода соответственно.

Иными словами, функция соответствует цилиндрической волне, распространяющейся из бесконечности к оси Z, а функция цилиндрической волне, распространяющейся от оси Z к

бесконечности вдоль радиусов r. Следовательно, для выполнения условия излучения необходимо считать, что постоянная С = 0, при этом формула (8.11) принимает вид Таким образом, решением уравнения (8.3), удовлетворяющим условию излучения, может служить функция

где Dm - некоторая постоянная.

Осталось выполнить граничное условие (8.4). Для этого -представим искомое решение Е(г, ср) в виде суперпозиции всех возможных функций (8.12):

Очевидно, выражение (8.13) является четной функцией, периодической по углу φ с периодом 2π,

которая удовлетворяет условию излучения и уравнению (8.3). Коэффициенты Dm - пока произвольные постоянные. Требуется определить их таким образом, чтобы выполнялось условие

(8.4). Подставим функцию (8.13) в (8.4) и воспользуемся известной из теории бесселевых функций формулой [24]:

Соотношение (8.14) можно получить, например, разлагая функцию exp (ika cos φ) в обычный ряд Фурье. Подставляя (8.13) и (8.14) в (8.4), приходим к равенству Левую и правую части этого равенства можно рассматривать как разложение одной и той же

функции в ряд Фурье. Так как такое разложение единственно, то коэффициенты разложения должны быть равны и, следовательно,

Подставляя формулы (8.15) в (8.13), получаем окончательное выражение для напряженности вторичного электрического поля, возникающего при падении плоской волны на идеально проводящий цилиндр радиуса а:

Ряд в выражении (8.16) является абсолютно сходящимся, его можно почленно дифференцировать.

Поэтому данное выражение позволяет также найти напряженность вторичного магнитного поля (Hm =[i/(ωμ)]rotEm) и распределение токов на поверхности цилиндра.

На рис. 8.2 показана зависимость модуля комплексной амплитуды напряженности вторичного электрического поля Ет в дальней зоне в зависимости от угла φ при постоянном значении переменной r (отношение |Ёт(r,φ)|/│Ет(r,0)│) для различных

значений kа. Пунктирная кривая соответствует данным, рассчитанным на основе геометрической оптики (см. 8.5).

Как видно из графиков, в результате дифракции появляется вторичное поле с четко выраженным максимумом в направлении φ=180°.

Решение задачи в форме (8.16) в принципе пригодно для цилиндра любого радиуса. Однако при больших значениях параметра kа, т.е. если диаметр цилиндра велик по сравнению с длиной волны

(kа = 2πа/λ), ряд в (8.16) сходится медленно и решение становится неудобным для анализа. Поэтому в случае k>>1 обычно стремятся получить более простые (но достаточно точные для практических целей) асимптотические формулы.

Изложенный строгий метод решения задачи дифракции называют методом Фурье. Однако такое решение удается получить лишь для тел простейшей конфигурации (например, круговой и эллиптический цилиндры, полуплоскость, клин, бесконечно протяженная бесконечно тонкая полоса конечной ширины, сфера, круговой конус, эллипсоид вращения, бесконечно тонкий диск и др.). Это связано с ограничениями, лежащими в основе метода Фурье. Для его применения необходимо, чтобы поверхность рассматриваемого тела полностью совпадала с какой-либо координатной поверхностью системы координат, в которой возможно разделение переменных в уравнении Гельмгольца. Если указанное условие не выполняется, для решения дифракционной задачи необходимо использовать другие методы.

8.3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ Бурное развитие вычислительной техники позволило в последние десятилетия разработать и

реализовать ряд численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн. Среди этих методов наиболее универсальными являются методы, основанные на сведении задачи к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу дифракции электромагнитного поля, создаваемого токовой нитью (бесконечно протяженным прямолинейным электрическим током /0 , амплитуда и фаза которого одинаковы по

всей длине) на идеально проводящей цилиндрической поверхности S произвольного профиля.

Поперечное сечение поверхности S представляет собой кусочно-гладкий контур Г, который может быть как замкнутым, так и незамкнутым. В случае замкнутого контура Г поверхность S эквивалентна сплошному идеально проводящему цилиндру, а незамкнутый контур Г соответствует идеально проводящему бесконечно тонкому незамкнутому цилиндрическому экрану. Контур Г и используемая система декартовых координат х, у, z показаны на рис. 8.3. Токовая нить проходит через точку

N0=N0( x0,yo) параллельно оси Z.

При отсутствии поверхности S токовая нить создает поле Ё°, Н°, которое будем называть первичным полем. Под его воздействием на S наводятся продольные (параллельные оси Z) поверхностные токи с плотностью js, которые создают вторичное поле Ё, Н. Комплексные амплитуды векторных потенциалов, создаваемых токовой нитью и токами, наведенными на S, определяются выражениями

(2.63) и (2.64) соответственно. На поверхности S должно выполняться граничное условие

ζ ' и η'-производные функций ζ и η по t, а τ -значение переменной t, соответствующее точке наблюдения Мо Є Г. Функцию K(t, -τ) называют ядром интегрального уравнения (8.19).

Как видно, переход к интегральному уравнению позволил понизить размерность задачи: вместо определения функции Ат, зависящей от двух переменных (координат х и у), задача сведена к нахождению функции jSm(t), зависящей от одной переменной t

Аналитическое решение уравнения (8.19) удается получить только в случае простейших контуров,

таких как окружность, полупрямая и т.п. В более общих случаях решение уравнения (8.19) может быть построено только на основе численных методов (см., например, [18—21]).

Рассмотрим один из возможных алгоритмов численного решения уравнения (13.19). Разобьем интервал интегрирования [α, β] в (8.19) на N частей ∆ t = (β -α)/N и представим jSm(t) в виде разложения по некоторым базисным функциям φm(t) с неизвестными коэффициентами /т:

Подставляя (8.20) в (8.19) и располагая точки наблюдения (точки коллокации) в серединах интервалов разбиения (τ = τn= α + (n- 1/2) (β -α)/N), приходим к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных постоянных 1т. Наиболее простой алгоритм получается при кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции, когда в качестве базисных берутся функции Численное решение СЛАУ (8.22) может быть получено стандартными методами, например методом

Гаусса. В результате решения системы (8.22) находятся значения искомой функции jSm(t) в N -

точках коллокации (при t=τn), зная которые можно

рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства. Изложенный способ построения численного решения получил название метода саморегуляризации. Более подробно он описан,

например в [21].

Отметим, что построение численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в общем случае относится к так называемым некорректным задачам. Оно может оказаться неустойчивым: малым изменениям правой части интегрального уравнения могут соответствовать сколь угодно большие изменения решения. В общем случае для построения численного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода требуется использовать так называемые методы регуляризации. Впервые такие методы были разработаны академиком А.Н. Тихоновым. Общие методы регуляризации, изложенные в [19], весьма сложны. В частном случае, когда ядро

интегрального уравнения имеет интегрируемую особенность при совпадении аргументов, удается использовать более простые методы решения. Так, благодаря логарифмической особенности ядра

K{t,τ) для построения устойчивого решения уравнения (8.19) оказывается возможным использовать описанный выше метод саморегуляризации или несколько более общий метод моментов (см.,

например, [18]).

8.4. ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА (ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЮЙГЕНСА-КИРХГОФА)

В 5.7 было показано, что поле в любой точке пространства, внешнего по отношению к некоторой области, ограниченной замкнутой поверхностью S, можно полностью определить по заданным на ней значениям касательных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей или,

что то же самое, по заданному распределению на S реальных или эквивалентных поверхностных электрических и магнитных токов. Действительно, разбивая мысленно поверхность S на элементарные площадки и рассматривая каждую площадку как элемент Гюйгенса, можно найти полное поле, суммируя поля, созданные отдельными элементами. В качестве такой поверхности часто оказывается удобным выбрать поверхность тела, рассматриваемого в дифракционной задаче.

Если бы на поверхности тела были известны точные значения касательных составляющих векторов Ё и Н, то тем самым были бы найдены точные значения этих

векторов в любой точке пространства. Однако для точного определения составляющих Етτ и Hmτ на поверхности S обычно требуется решить исходную

дифракционную задачу. Указанную трудность можно обойти, если ограничиться вычислением приближенных значений составляющих Emτ│s и Hmτ│s на основе некоторых упрощающих предположений. Однако при этом решение соответствующей дифракционной задачи также будет уже не точным, а приближенным. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Пусть на идеально проводящее тело (рис. 8.4) падает электромагнитная волна,

создаваемая в пространстве источником Q. На поверхности тела касательная составляющая вектора Е равна нулю, т.е. на S отсутствуют эквивалентные поверхностные магнитные токи, а текут только поверхностные электрические токи с плотностью. js. Часть поверхности тела (So), которая видна из источника, будем называть освещенной, а остальную часть - теневой. Если линейные размеры l и

минимальный радиус кривизны р min освещенной части поверхности велики по сравнению с длиной волны то в первом приближении можно пренебречь затеканием токов на теневую сторону тела (т.е.

считать, что на ней js = 0) и предположить, что на So плотность тока в каждой точке такая же, какой она была бы при заданном первичном поле на идеально проводящей плоскости, касательной к So в

рассматриваемой точке. Эти предположения, конечно, являются приближенными. В

действительности при любых конечных размерах тела токи всегда затекают на теневую сторону его поверхности и, кроме того, реальное распределение токов на освещенной стороне несколько отличается от указанного.

Выберем некоторую точку М на So (см. рис. 8.4) и вычислим в ней плотность тока на основе принятых допущений. Предположим, что источник Q находится над идеально проводящей безграничной плоскостью Р, касательной к поверхности S в точке М (рис. 8.5).

Напряженность полного магнитного поля где Н 0 (М)-напряженность первичного магнитного поля, создаваемого источником в точке М, а Н(М) -

напряженность вторичного магнитного поля, обусловленного токами, протекающими по плоскости